Analysis Beispiele

$\int_{0}^{8} 8 + \sqrt[3]{x} d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{8} 8 d x + \int_{0}^{8} \sqrt[3]{x} d x$

Schritt 2

Wende die Konstantenregel an.

$8 x]_{0}^{8} + \int_{0}^{8} \sqrt[3]{x} d x$

Schritt 3

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$8 x]_{0}^{8} + \int_{0}^{8} x^{\frac{1}{3}} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$8 x]_{0}^{8} + \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{8}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Kombiniere $8 x]_{0}^{8}$ und $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{8}$ .

$8 x + \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{8}$

Schritt 5.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Berechne $8 x + \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ bei $8$ und $0$ .

$(8 \cdot 8 + \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}}) - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

Schritt 5.2.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$64 + \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}} - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

Schritt 5.2.2.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$64 + \frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}} - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

Schritt 5.2.2.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$64 + \frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

Schritt 5.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$64 + \frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

Schritt 5.2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$64 + \frac{3}{4} \cdot 2^{4} - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

Schritt 5.2.2.5

Potenziere $2$ mit $4$ .

$64 + \frac{3}{4} \cdot 16 - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

Schritt 5.2.2.6

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $16$ .

$64 + \frac{3 \cdot 16}{4} - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

Schritt 5.2.2.7

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$64 + \frac{48}{4} - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

Schritt 5.2.2.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $48$ und $4$ .

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Schritt 5.2.2.8.1

Faktorisiere $4$ aus $48$ heraus.

$64 + \frac{4 \cdot 12}{4} - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

Schritt 5.2.2.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.8.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$64 + \frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

Schritt 5.2.2.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$64 + \frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

Schritt 5.2.2.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$64 + \frac{12}{1} - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

Schritt 5.2.2.8.2.4

Dividiere $12$ durch $1$ .

$64 + 12 - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

Schritt 5.2.2.9

Addiere $64$ und $12$ .

$76 - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

Schritt 5.2.2.10

Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$76 - (0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

Schritt 5.2.2.11

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$76 - (0 + \frac{3}{4} \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}})$

Schritt 5.2.2.12

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$76 - (0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})})$

Schritt 5.2.2.13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.2.13.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$76 - (0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})})$

Schritt 5.2.2.13.2

Forme den Ausdruck um.

$76 - (0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{4})$

Schritt 5.2.2.14

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$76 - (0 + \frac{3}{4} \cdot 0)$

Schritt 5.2.2.15

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $0$ .

$76 - (0 + 0)$

Schritt 5.2.2.16

Addiere $0$ und $0$ .

$76 - 0$

Schritt 5.2.2.17

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$76 + 0$

Schritt 5.2.2.18

Addiere $76$ und $0$ .

$76$

Schritt 6