Analysis Beispiele

$\int_{0}^{8} {(\frac{2 - 3 x}{4})}^{2} d x$

Schritt 1

Sei $u = \frac{2 - 3 x}{4}$ . Dann ist $d u = - \frac{3}{4} d x$ , folglich $- \frac{4}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Es sei $u = \frac{2 - 3 x}{4}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere $\frac{2 - 3 x}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 - 3 x}{4}]$

Schritt 1.1.2

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 - 3 x}{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [2 - 3 x]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [2 - 3 x]$

Schritt 1.1.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Schritt 1.1.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{4} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Schritt 1.1.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Schritt 1.1.6

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} (- 3 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.1.7

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.7.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- 3}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.7.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{3}{4} \cdot 1$

Schritt 1.1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{3}{4}$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \frac{2 - 3 x}{4}$ ein.

$u_{lower} = \frac{2 - 3 \cdot 0}{4}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 - 3 \cdot 0$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1.1

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 2) - 3 \cdot 0}{4}$

Schritt 1.3.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 \cdot 0$ heraus.

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 2) - (3 \cdot 0)}{4}$

Schritt 1.3.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 2) - (3 \cdot 0)$ heraus.

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 2 + 3 \cdot 0)}{4}$

Schritt 1.3.1.4

Stelle die Terme um.

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 2 + 0 \cdot 3)}{4}$

Schritt 1.3.1.5

Faktorisiere $2$ aus $- 1 (- 2 + 0 \cdot 3)$ heraus.

$u_{lower} = \frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 3))}{4}$

Schritt 1.3.1.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1.6.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$u_{lower} = \frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 3))}{2 (2)}$

Schritt 1.3.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{lower} = \frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 3))}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.3.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 1 + 0 \cdot 3)}{2}$

Schritt 1.3.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $3$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 1 + 0)}{2}$

Schritt 1.3.2.2

Addiere $- 1$ und $0$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 \cdot - 1}{2}$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$u_{lower} = \frac{1}{2}$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \frac{2 - 3 x}{4}$ ein.

$u_{upper} = \frac{2 - 3 \cdot 8}{4}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 - 3 \cdot 8$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1.1

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 2) - 3 \cdot 8}{4}$

Schritt 1.5.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 \cdot 8$ heraus.

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 2) - (3 \cdot 8)}{4}$

Schritt 1.5.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 2) - (3 \cdot 8)$ heraus.

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 2 + 3 \cdot 8)}{4}$

Schritt 1.5.1.4

Stelle die Terme um.

$u_{upper} = \frac{- 1 (3 \cdot 8 - 2)}{4}$

Schritt 1.5.1.5

Faktorisiere $2$ aus $- 1 (3 \cdot 8 - 2)$ heraus.

$u_{upper} = \frac{2 (- 1 (3 \cdot 4 - 1))}{4}$

Schritt 1.5.1.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1.6.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$u_{upper} = \frac{2 (- 1 (3 \cdot 4 - 1))}{2 (2)}$

Schritt 1.5.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = \frac{2 (- 1 (3 \cdot 4 - 1))}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = \frac{- 1 (3 \cdot 4 - 1)}{2}$

Schritt 1.5.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 (12 - 1)}{2}$

Schritt 1.5.2.2

Subtrahiere $1$ von $12$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 \cdot 11}{2}$

Schritt 1.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $11$ .

$u_{upper} = \frac{- 11}{2}$

Schritt 1.5.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u_{upper} = - \frac{11}{2}$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = \frac{1}{2}$

$u_{upper} = - \frac{11}{2}$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} - u^{2} \frac{- 1}{- \frac{3}{4}} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} - u^{2} \frac{1}{\frac{3}{4}} d u$

Schritt 2.2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{3}{4}$ zu dividieren.

$\int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} - u^{2} (1 (\frac{4}{3})) d u$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $\frac{4}{3}$ mit $1$ .

$\int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} - u^{2} \frac{4}{3} d u$

Schritt 2.4

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $u^{2}$ .

$\int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} - \frac{4 u^{2}}{3} d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} \frac{4 u^{2}}{3} d u$

Schritt 4

Da $\frac{4}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{4}{3}$ aus dem Integral.

$- (\frac{4}{3} \int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} u^{2} d u)$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- \frac{4}{3} \frac{1}{3} u^{3}]_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}}$

Schritt 6

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Berechne $\frac{1}{3} u^{3}$ bei $- \frac{11}{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{4}{3} ((\frac{1}{3} {(- \frac{11}{2})}^{3}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Schritt 6.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \frac{11}{2}$ heraus.

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} {(- (\frac{11}{2}))}^{3} - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Schritt 6.2.2

Wende die Produktregel auf $- (\frac{11}{2})$ an.

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} ({(- 1)}^{3} {(\frac{11}{2})}^{3}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Schritt 6.2.3

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} (- {(\frac{11}{2})}^{3}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Schritt 7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{11}{2}$ an.

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} (- \frac{11^{3}}{2^{3}}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Schritt 7.1.2

Potenziere $11$ mit $3$ .

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} (- \frac{1331}{2^{3}}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Schritt 7.1.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} (- \frac{1331}{8}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Schritt 7.1.4

Multipliziere $\frac{1}{3} (- \frac{1331}{8})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1331}{8}$ .

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{3 \cdot 8} - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Schritt 7.1.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Schritt 7.1.5

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1^{3}}{2^{3}})$

Schritt 7.1.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2^{3}})$

Schritt 7.1.7

Potenziere $2$ mit $3$ .

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{8})$

Schritt 7.1.8

Multipliziere $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{8}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{8}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{8 \cdot 3})$

Schritt 7.1.8.2

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{24})$

Schritt 7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{- 1331 - 1}{24}$

Schritt 7.3

Subtrahiere $1$ von $- 1331$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{- 1332}{24}$

Schritt 7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4}{3}$ in den Zähler.

$\frac{- 4}{3} \cdot \frac{- 1332}{24}$

Schritt 7.4.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{4 (- 1)}{3} \cdot \frac{- 1332}{24}$

Schritt 7.4.3

Faktorisiere $4$ aus $24$ heraus.

$\frac{4 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 1332}{4 \cdot 6}$

Schritt 7.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 1332}{4 \cdot 6}$

Schritt 7.4.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{- 1332}{6}$

Schritt 7.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.5.1

Faktorisiere $3$ aus $- 1332$ heraus.

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 (- 444)}{6}$

Schritt 7.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 \cdot - 444}{6}$

Schritt 7.5.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{- 444}{6}$

Schritt 7.6

Dividiere $- 444$ durch $6$ .

$- - 74$

Schritt 7.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 74$ .

$74$

Schritt 8