Analysis Beispiele

$\int_{0}^{8} x e^{1 - x} d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{1 - x}$ .

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} - \int_{0}^{8} - e^{1 - x} d x$

Schritt 2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} - - \int_{0}^{8} e^{1 - x} d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} + 1 \int_{0}^{8} e^{1 - x} d x$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\int_{0}^{8} e^{1 - x} d x$ mit $1$ .

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} + \int_{0}^{8} e^{1 - x} d x$

Schritt 4

Sei $u = 1 - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = 1 - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $1 - x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

Schritt 4.1.2

Differenziere.

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Schritt 4.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 4.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 - 1$

Schritt 4.1.4

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$- 1$

Schritt 4.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 1 - x$ ein.

$u_{lower} = 1 - 0$

Schritt 4.3

Subtrahiere $0$ von $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 4.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 1 - x$ ein.

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 8$

Schritt 4.5

Vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$u_{upper} = 1 - 8$

Schritt 4.5.2

Subtrahiere $8$ von $1$ .

$u_{upper} = - 7$

Schritt 4.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 7$

Schritt 4.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} + \int_{1}^{- 7} - e^{u} d u$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} - \int_{1}^{- 7} e^{u} d u$

Schritt 6

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} - (e^{u}]_{1}^{- 7})$

Schritt 7

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1

Berechne $x (- e^{1 - x})$ bei $8$ und $0$ .

$(8 (- e^{1 - 1 \cdot 8})) + 0 (- e^{1 - 0}) - (e^{u}]_{1}^{- 7})$

Schritt 7.2

Berechne $e^{u}$ bei $- 7$ und $1$ .

$(8 (- e^{1 - 1 \cdot 8})) + 0 (- e^{1 - 0}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$8 (- e^{1 - 8}) + 0 (- e^{1 - 0}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Schritt 7.3.2

Subtrahiere $8$ von $1$ .

$8 (- e^{- 7}) + 0 (- e^{1 - 0}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Schritt 7.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$- 8 e^{- 7} + 0 (- e^{1 - 0}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Schritt 7.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- 8 e^{- 7} + 0 (- e^{1 + 0}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Schritt 7.3.5

Addiere $1$ und $0$ .

$- 8 e^{- 7} + 0 (- e^{1}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Schritt 7.3.6

Vereinfache.

$- 8 e^{- 7} + 0 (- e) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Schritt 7.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- 8 e^{- 7} + 0 e - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Schritt 7.3.8

Mutltipliziere $0$ mit $e$ .

$- 8 e^{- 7} + 0 - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Schritt 7.3.9

Addiere $- 8 e^{- 7}$ und $0$ .

$- 8 e^{- 7} - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Schritt 7.3.10

Vereinfache.

$- 8 e^{- 7} - (e^{- 7} - e)$

Schritt 8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{e^{7}} - (e^{- 7} - e)$

Schritt 8.2

Kombiniere $- 8$ und $\frac{1}{e^{7}}$ .

$\frac{- 8}{e^{7}} - (e^{- 7} - e)$

Schritt 8.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{8}{e^{7}} - (e^{- 7} - e)$

Schritt 8.4

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{8}{e^{7}} - e^{- 7} - - e$

Schritt 8.5

Multipliziere $- - e$ .

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Schritt 8.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{8}{e^{7}} - e^{- 7} + 1 e$

Schritt 8.5.2

Mutltipliziere $e$ mit $1$ .

$- \frac{8}{e^{7}} - e^{- 7} + e$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{8}{e^{7}} - e^{- 7} + e$

Dezimalform:

$2.71007489 \dots$

Schritt 10