Analysis Beispiele

$\int_{0}^{7} \frac{3 y^{2} - 2 y + 5}{y^{3} - y^{2} + 5 y + 1} d y$

Schritt 1

Sei $u = y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ . Dann ist $d u = (3 y^{2} - 2 y + 5) d y$ , folglich $\frac{1}{3 y^{2} - 2 y + 5} d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} - y^{2} + 5 y + 1]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 y^{2} + \frac{d}{d y} [- y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y^{2}$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$3 y^{2} - \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 y^{2} - (2 y) + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$3 y^{2} - 2 y + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 1.1.4

Berechne $\frac{d}{d y} [5 y]$ .

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Schritt 1.1.4.1

Da $5$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $5 y$ nach $y$ gleich $5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 y^{2} - 2 y + 5 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 y^{2} - 2 y + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 1.1.4.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$3 y^{2} - 2 y + 5 + \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 1.1.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.5.1

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$3 y^{2} - 2 y + 5 + 0$

Schritt 1.1.5.2

Addiere $3 y^{2} - 2 y + 5$ und $0$ .

$3 y^{2} - 2 y + 5$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $y$ in $u = y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ ein.

$u_{lower} = 0^{3} - 0^{2} + 5 \cdot 0 + 1$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 0 - 0^{2} + 5 \cdot 0 + 1$

Schritt 1.3.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 0 - 0 + 5 \cdot 0 + 1$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 5 \cdot 0 + 1$

Schritt 1.3.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 0 + 1$

Schritt 1.3.2

Addiere $0$ und $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 1$

Schritt 1.3.3

Addiere $0$ und $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Schritt 1.3.4

Addiere $0$ und $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $y$ in $u = y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ ein.

$u_{upper} = 7^{3} - 7^{2} + 5 \cdot 7 + 1$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1.1

Potenziere $7$ mit $3$ .

$u_{upper} = 343 - 7^{2} + 5 \cdot 7 + 1$

Schritt 1.5.1.2

Potenziere $7$ mit $2$ .

$u_{upper} = 343 - 1 \cdot 49 + 5 \cdot 7 + 1$

Schritt 1.5.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $49$ .

$u_{upper} = 343 - 49 + 5 \cdot 7 + 1$

Schritt 1.5.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $7$ .

$u_{upper} = 343 - 49 + 35 + 1$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $49$ von $343$ .

$u_{upper} = 294 + 35 + 1$

Schritt 1.5.3

Addiere $294$ und $35$ .

$u_{upper} = 329 + 1$

Schritt 1.5.4

Addiere $329$ und $1$ .

$u_{upper} = 330$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 330$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{330} \frac{1}{u} d u$

Schritt 2

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{1}^{330}$

Schritt 3

Berechne $\ln (| u |)$ bei $330$ und $1$ .

$\ln (| 330 |) - \ln (| 1 |)$

Schritt 4

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 330 |}{| 1 |})$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $330$ ist $330$ .

$\ln (\frac{330}{| 1 |})$

Schritt 5.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\ln (\frac{330}{1})$

Schritt 5.3

Dividiere $330$ durch $1$ .

$\ln (330)$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\ln (330)$

Dezimalform:

$5.79909265 \dots$

Schritt 7