Analysis Beispiele

$\int_{0}^{6} 10 e^{- \frac{1}{2} t} d t$

Schritt 1

Kombiniere $t$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{6} 10 e^{- \frac{t}{2}} d t$

Schritt 2

Da $10$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $10$ aus dem Integral.

$10 \int_{0}^{6} e^{- \frac{t}{2}} d t$

Schritt 3

Sei $u = - \frac{t}{2}$ . Dann ist $d u = - \frac{1}{2} d t$ , folglich $- 2 d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = - \frac{t}{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $- \frac{t}{2}$ .

$\frac{d}{d t} [- \frac{t}{2}]$

Schritt 3.1.2

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{t}{2}$ nach $t$ gleich $- \frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2}$

Schritt 3.2

Setze die untere Grenze für $t$ in $u = - \frac{t}{2}$ ein.

$u_{lower} = - \frac{0}{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$u_{lower} = - 0$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 3.4

Setze die obere Grenze für $t$ in $u = - \frac{t}{2}$ ein.

$u_{upper} = - \frac{6}{2}$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Dividiere $6$ durch $2$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 3$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$u_{upper} = - 3$

Schritt 3.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 3$

Schritt 3.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$10 \int_{0}^{- 3} - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$10 \int_{0}^{- 3} - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 4.2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{2}$ zu dividieren.

$10 \int_{0}^{- 3} - e^{u} (1 \cdot 2) d u$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$10 \int_{0}^{- 3} - e^{u} \cdot 2 d u$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$10 \int_{0}^{- 3} - 2 e^{u} d u$

Schritt 5

Da $- 2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$10 (- 2 \int_{0}^{- 3} e^{u} d u)$

Schritt 6

Mutltipliziere $- 2$ mit $10$ .

$- 20 \int_{0}^{- 3} e^{u} d u$

Schritt 7

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- 20 (e^{u}]_{0}^{- 3})$

Schritt 8

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.1

Berechne $e^{u}$ bei $- 3$ und $0$ .

$- 20 ((e^{- 3}) - e^{0})$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$- 20 (e^{- 3} - 1 \cdot 1)$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 20 (e^{- 3} - 1)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 20 e^{- 3} - 20 \cdot - 1$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $- 20$ mit $- 1$ .

$- 20 e^{- 3} + 20$

Schritt 9.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 20 \frac{1}{e^{3}} + 20$

Schritt 9.3.2

Kombiniere $- 20$ und $\frac{1}{e^{3}}$ .

$\frac{- 20}{e^{3}} + 20$

Schritt 9.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{20}{e^{3}} + 20$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{20}{e^{3}} + 20$

Dezimalform:

$19.00425863 \dots$

Schritt 11