Analysis Beispiele

$\int_{0}^{81} \frac{81}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 1

Da $81$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $81$ aus dem Integral.

$81 \int_{0}^{81} \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$81 \int_{0}^{81} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 2.2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$81 \int_{0}^{81} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$81 \int_{0}^{81} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$81 \int_{0}^{81} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Schritt 2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$81 \int_{0}^{81} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$81 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{0}^{81})$

Schritt 4

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.1

Berechne $2 x^{\frac{1}{2}}$ bei $81$ und $0$ .

$81 ((2 \cdot 81^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 0^{\frac{1}{2}})$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$81 (2 \cdot {(9^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 0^{\frac{1}{2}})$

Schritt 4.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$81 (2 \cdot 9^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 0^{\frac{1}{2}})$

Schritt 4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$81 (2 \cdot 9^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 0^{\frac{1}{2}})$

Schritt 4.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$81 (2 \cdot 9^{1} - 2 \cdot 0^{\frac{1}{2}})$

Schritt 4.2.4

Berechne den Exponenten.

$81 (2 \cdot 9 - 2 \cdot 0^{\frac{1}{2}})$

Schritt 4.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$81 (18 - 2 \cdot 0^{\frac{1}{2}})$

Schritt 4.2.6

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$81 (18 - 2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 4.2.7

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$81 (18 - 2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})})$

Schritt 4.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$81 (18 - 2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})})$

Schritt 4.2.8.2

Forme den Ausdruck um.

$81 (18 - 2 \cdot 0^{1})$

Schritt 4.2.9

Berechne den Exponenten.

$81 (18 - 2 \cdot 0)$

Schritt 4.2.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$81 (18 + 0)$

Schritt 4.2.11

Addiere $18$ und $0$ .

$81 \cdot 18$

Schritt 4.2.12

Mutltipliziere $81$ mit $18$ .

$1458$

Schritt 5