Analysis Beispiele

$\int_{0}^{9} 0.5 x + \sin (2 x) + 3 d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{9} 0.5 x d x + \int_{0}^{9} \sin (2 x) d x + \int_{0}^{9} 3 d x$

Schritt 2

Da $0.5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $0.5$ aus dem Integral.

$0.5 \int_{0}^{9} x d x + \int_{0}^{9} \sin (2 x) d x + \int_{0}^{9} 3 d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$0.5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{9} \sin (2 x) d x + \int_{0}^{9} 3 d x$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$0.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{9} \sin (2 x) d x + \int_{0}^{9} 3 d x$

Schritt 5

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 5.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 5.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 5.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{upper} = 2 \cdot 9$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$u_{upper} = 18$

Schritt 5.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 18$

Schritt 5.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$0.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{18} \sin (u) \frac{1}{2} d u + \int_{0}^{9} 3 d x$

Schritt 6

Kombiniere $\sin (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$0.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{18} \frac{\sin (u)}{2} d u + \int_{0}^{9} 3 d x$

Schritt 7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$0.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) + \frac{1}{2} \int_{0}^{18} \sin (u) d u + \int_{0}^{9} 3 d x$

Schritt 8

Das Integral von $\sin (u)$ nach $u$ ist $- \cos (u)$ .

$0.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) + \frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{18} + \int_{0}^{9} 3 d x$

Schritt 9

Wende die Konstantenregel an.

$0.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) + \frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{18} + 3 x]_{0}^{9}$

Schritt 10

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 10.1

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $9$ und $0$ .

$0.5 ((\frac{9^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{18} + 3 x]_{0}^{9}$

Schritt 10.2

Berechne $- \cos (u)$ bei $18$ und $0$ .

$0.5 ((\frac{9^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 x]_{0}^{9}$

Schritt 10.3

Berechne $3 x$ bei $9$ und $0$ .

$0.5 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Schritt 10.4

Vereinfache.

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Schritt 10.4.1

Potenziere $9$ mit $2$ .

$0.5 (\frac{81}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Schritt 10.4.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0.5 (\frac{81}{2} - \frac{0}{2}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Schritt 10.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 10.4.3.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$0.5 (\frac{81}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Schritt 10.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.4.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$0.5 (\frac{81}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Schritt 10.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0.5 (\frac{81}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Schritt 10.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$0.5 (\frac{81}{2} - \frac{0}{1}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Schritt 10.4.3.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$0.5 (\frac{81}{2} - 0) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Schritt 10.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0.5 (\frac{81}{2} + 0) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Schritt 10.4.5

Addiere $\frac{81}{2}$ und $0$ .

$0.5 (\frac{81}{2}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Schritt 10.4.6

Kombiniere $0.5$ und $\frac{81}{2}$ .

$\frac{0.5 \cdot 81}{2} + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Schritt 10.4.7

Mutltipliziere $0.5$ mit $81$ .

$\frac{40.5}{2} + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Schritt 10.4.8

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$\frac{40.5}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + 27 - 3 \cdot 0$

Schritt 10.4.9

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$\frac{40.5}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + 27 + 0$

Schritt 10.4.10

Addiere $27$ und $0$ .

$\frac{40.5}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + 27$

Schritt 10.4.11

Um $27$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + \frac{40.5}{2} + 27 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 10.4.12

Kombiniere $27$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + \frac{40.5}{2} + \frac{27 \cdot 2}{2}$

Schritt 10.4.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + \frac{40.5 + 27 \cdot 2}{2}$

Schritt 10.4.14

Mutltipliziere $27$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + \frac{40.5 + 54}{2}$

Schritt 10.4.15

Addiere $40.5$ und $54$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + \frac{94.5}{2}$

Schritt 11

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (18) + 1) + \frac{94.5}{2}$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Berechne $\cos (18)$ .

$\frac{1}{2} (- 1 \cdot 0.6603167 + 1) + \frac{94.5}{2}$

Schritt 12.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.6603167$ .

$\frac{1}{2} (- 0.6603167 + 1) + \frac{94.5}{2}$

Schritt 12.3

Addiere $- 0.6603167$ und $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0.33968329 + \frac{94.5}{2}$

Schritt 12.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $0.33968329$ .

$\frac{0.33968329}{2} + \frac{94.5}{2}$

Schritt 12.5

Dividiere $0.33968329$ durch $2$ .

$0.16984164 + \frac{94.5}{2}$

Schritt 12.6

Dividiere $94.5$ durch $2$ .

$0.16984164 + 47.25$

Schritt 12.7

Addiere $0.16984164$ und $47.25$ .

$47.41984164$