Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\ln (16)} e^{\frac{x}{4}} d x$

Schritt 1

Sei $u = \frac{x}{4}$ . Dann ist $d u = \frac{1}{4} d x$ , folglich $4 d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = \frac{x}{4}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\frac{x}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

Schritt 1.1.2

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$\frac{1}{4}$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \frac{x}{4}$ ein.

$u_{lower} = \frac{0}{4}$

Schritt 1.3

Dividiere $0$ durch $4$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \frac{x}{4}$ ein.

$u_{upper} = \frac{\ln (16)}{4}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Schreibe $\ln (16)$ als $\ln (2^{4})$ um.

$u_{upper} = \frac{\ln (2^{4})}{4}$

Schritt 1.5.2

Zerlege $\ln (2^{4})$ durch Herausziehen von $4$ aus dem Logarithmus.

$u_{upper} = \frac{4 \ln (2)}{4}$

Schritt 1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = \frac{4 \ln (2)}{4}$

Schritt 1.5.3.2

Dividiere $\ln (2)$ durch $1$ .

$u_{upper} = \ln (2)$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \ln (2)$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{\ln (2)} e^{u} \frac{1}{\frac{1}{4}} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{4}$ zu dividieren.

$\int_{0}^{\ln (2)} e^{u} (1 \cdot 4) d u$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\int_{0}^{\ln (2)} e^{u} \cdot 4 d u$

Schritt 2.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $e^{u}$ .

$\int_{0}^{\ln (2)} 4 e^{u} d u$

Schritt 3

Da $4$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int_{0}^{\ln (2)} e^{u} d u$

Schritt 4

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$4 (e^{u}]_{0}^{\ln (2)})$

Schritt 5

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.1

Berechne $e^{u}$ bei $\ln (2)$ und $0$ .

$4 ((e^{\ln (2)}) - e^{0})$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$4 (2 - e^{0})$

Schritt 5.2.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$4 (2 - 1 \cdot 1)$

Schritt 5.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$4 (2 - 1)$

Schritt 5.2.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$4 \cdot 1$

Schritt 5.2.5

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4$

Schritt 6