Analysis Beispiele

$\int_{0}^{π} {(1 + \sin (x))}^{2} d x$

Schritt 1

Multipliziere ${(1 + \sin (x))}^{2}$ aus.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(1 + \sin (x))}^{2}$ als $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ um.

$\int_{0}^{π} (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)) d x$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{0}^{π} 1 (1 + \sin (x)) + \sin (x) (1 + \sin (x)) d x$

Schritt 1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{0}^{π} 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) (1 + \sin (x)) d x$

Schritt 1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{0}^{π} 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) d x$

Schritt 1.5

Stelle $\sin (x)$ und $1$ um.

$\int_{0}^{π} 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + 1 \cdot \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

Schritt 1.6

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\int_{0}^{π} 1 + 1 \sin (x) + 1 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

Schritt 1.7

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\int_{0}^{π} 1 + \sin (x) + 1 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

Schritt 1.8

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\int_{0}^{π} 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

Schritt 1.9

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\int_{0}^{π} 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) d x$

Schritt 1.10

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\int_{0}^{π} 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) d x$

Schritt 1.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{0}^{π} 1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} d x$

Schritt 1.12

Addiere $1$ und $1$ .

$\int_{0}^{π} 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x) d x$

Schritt 1.13

Addiere $\sin (x)$ und $\sin (x)$ .

$\int_{0}^{π} 1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{π} d x + \int_{0}^{π} 2 \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin^{2} (x) d x$

Schritt 3

Wende die Konstantenregel an.

$x]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} 2 \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin^{2} (x) d x$

Schritt 4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$x]_{0}^{π} + 2 \int_{0}^{π} \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin^{2} (x) d x$

Schritt 5

Das Integral von $\sin (x)$ nach $x$ ist $- \cos (x)$ .

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{π} \sin^{2} (x) d x$

Schritt 6

Benutze die Halbwinkelformel, um $\sin^{2} (x)$ als $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ neu zu schreiben.

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{π} \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

Schritt 7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 - \cos (2 x) d x$

Schritt 8

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (\int_{0}^{π} d x + \int_{0}^{π} - \cos (2 x) d x)$

Schritt 9

Wende die Konstantenregel an.

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} - \cos (2 x) d x)$

Schritt 10

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \cos (2 x) d x)$

Schritt 11

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 11.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 11.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 11.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 11.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 11.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 11.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Schritt 11.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 11.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{upper} = 2 π$

Schritt 11.5

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

Schritt 11.6

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{2 π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Schritt 12

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Schritt 13

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u))$

Schritt 14

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

Schritt 15

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 15.1

Berechne $x$ bei $π$ und $0$ .

$(π) + 0 + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

Schritt 15.2

Berechne $- \cos (x)$ bei $π$ und $0$ .

$π + 0 + 2 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

Schritt 15.3

Berechne $x$ bei $π$ und $0$ .

$π + 0 + 2 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((π) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

Schritt 15.4

Berechne $\sin (u)$ bei $2 π$ und $0$ .

$π + 0 + 2 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0)))$

Schritt 15.5

Vereinfache.

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Schritt 15.5.1

Addiere $π$ und $0$ .

$π + 2 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0)))$

Schritt 15.5.2

Addiere $π$ und $0$ .

$π + 2 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0)))$

Schritt 16

Vereinfache.

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Schritt 16.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$π + 2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0)))$

Schritt 16.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$π + 2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0))$

Schritt 16.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$π + 2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) + 0))$

Schritt 16.4

Addiere $\sin (2 π)$ und $0$ .

$π + 2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} \sin (2 π))$

Schritt 16.5

Kombiniere $\sin (2 π)$ und $\frac{1}{2}$ .

$π + 2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

Schritt 17

Vereinfache.

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Schritt 17.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$π + 2 (- - \cos (0) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

Schritt 17.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$π + 2 (- (- 1 \cdot 1) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

Schritt 17.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$π + 2 (- - 1 + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

Schritt 17.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$π + 2 (1 + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

Schritt 17.5

Addiere $1$ und $1$ .

$π + 2 \cdot 2 + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

Schritt 17.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$π + 4 + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

Schritt 17.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 17.7.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$π + 4 + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (0)}{2})$

Schritt 17.7.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$π + 4 + \frac{1}{2} (π - \frac{0}{2})$

Schritt 17.8

Dividiere $0$ durch $2$ .

$π + 4 + \frac{1}{2} (π - 0)$

Schritt 17.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$π + 4 + \frac{1}{2} (π + 0)$

Schritt 17.10

Addiere $π$ und $0$ .

$π + 4 + \frac{1}{2} π$

Schritt 17.11

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $π$ .

$π + 4 + \frac{π}{2}$

Schritt 17.12

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2} + 4$

Schritt 17.13

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2} + 4$

Schritt 17.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \cdot 2 + π}{2} + 4$

Schritt 17.15

Addiere $π \cdot 2$ und $π$ .

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Schritt 17.15.1

Stelle $π$ und $2$ um.

$\frac{2 \cdot π + π}{2} + 4$

Schritt 17.15.2

Addiere $2 \cdot π$ und $π$ .

$\frac{3 \cdot π}{2} + 4$

$\frac{3 π}{2} + 4$

Schritt 18

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{3 π}{2} + 4$

Dezimalform:

$8.71238898 \dots$