Analysis Beispiele

$\int_{0}^{5} \frac{1}{25 + x^{2}} d x$

Schritt 1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\int_{0}^{5} \frac{1}{5^{2} + x^{2}} d x$

Schritt 2

Das Integral von $\frac{1}{5^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\frac{1}{5} \arctan (\frac{x}{5})]_{0}^{5}$ .

$\frac{1}{5} \arctan (\frac{x}{5})]_{0}^{5}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $\arctan (\frac{x}{5})$ .

$\frac{\arctan (\frac{x}{5})}{5}]_{0}^{5}$

Schritt 3.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Berechne $\frac{\arctan (\frac{x}{5})}{5}$ bei $5$ und $0$ .

$(\frac{\arctan (\frac{5}{5})}{5}) - \frac{\arctan (\frac{0}{5})}{5}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\arctan (\frac{5}{5})}{5} - \frac{\arctan (\frac{0}{5})}{5}$

Schritt 3.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\arctan (1)}{5} - \frac{\arctan (\frac{0}{5})}{5}$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $5$ .

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Schritt 3.2.2.2.1

Faktorisiere $5$ aus $0$ heraus.

$\frac{\arctan (1)}{5} - \frac{\arctan (\frac{5 (0)}{5})}{5}$

Schritt 3.2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.2.2.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\frac{\arctan (1)}{5} - \frac{\arctan (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})}{5}$

Schritt 3.2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\arctan (1)}{5} - \frac{\arctan (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})}{5}$

Schritt 3.2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\arctan (1)}{5} - \frac{\arctan (\frac{0}{1})}{5}$

Schritt 3.2.2.2.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\frac{\arctan (1)}{5} - \frac{\arctan (0)}{5}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\arctan (1) - \arctan (0)}{5}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$\frac{\frac{π}{4} - \arctan (0)}{5}$

Schritt 3.3.2.2

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$\frac{\frac{π}{4} - 0}{5}$

Schritt 3.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{\frac{π}{4} + 0}{5}$

Schritt 3.3.3

Addiere $\frac{π}{4}$ und $0$ .

$\frac{\frac{π}{4}}{5}$

Schritt 3.3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 3.3.5

Multipliziere $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Schritt 3.3.5.1

Mutltipliziere $\frac{π}{4}$ mit $\frac{1}{5}$ .

$\frac{π}{4 \cdot 5}$

Schritt 3.3.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$\frac{π}{20}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{π}{20}$

Dezimalform:

$0.15707963 \dots$

Schritt 5