Analysis Beispiele

$\int_{0}^{5} \cos (5 x) d x$

Schritt 1

Sei $u = 5 x$ . Dann ist $d u = 5 d x$ , folglich $\frac{1}{5} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 5 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 1.1.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 5 x$ ein.

$u_{lower} = 5 \cdot 0$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 5 x$ ein.

$u_{upper} = 5 \cdot 5$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$u_{upper} = 25$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 25$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{25} \cos (u) \frac{1}{5} d u$

Schritt 2

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{5}$ .

$\int_{0}^{25} \frac{\cos (u)}{5} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{5} \int_{0}^{25} \cos (u) d u$

Schritt 4

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$\frac{1}{5} \sin (u)]_{0}^{25}$

Schritt 5

Berechne $\sin (u)$ bei $25$ und $0$ .

$\frac{1}{5} (\sin (25) - \sin (0))$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{5} (\sin (25) - 0)$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1}{5} (\sin (25) + 0)$

Schritt 6.3

Addiere $\sin (25)$ und $0$ .

$\frac{1}{5} \sin (25)$

Schritt 6.4

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $\sin (25)$ .

$\frac{\sin (25)}{5}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Berechne $\sin (25)$ .

$\frac{- 0.13235175}{5}$

Schritt 7.2

Dividiere $- 0.13235175$ durch $5$ .

$- 0.02647035$