Analysis Beispiele

$\int_{0}^{3} t - 5^{t} d t$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{3} t d t + \int_{0}^{3} - 5^{t} d t$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t$ nach $t$ gleich $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{1}{2} t^{2}]_{0}^{3} + \int_{0}^{3} - 5^{t} d t$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} t^{2}]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} 5^{t} d t$

Schritt 4

Das Integral von $5^{t}$ nach $t$ ist $\frac{5^{t}}{\ln (5)}$ .

$\frac{1}{2} t^{2}]_{0}^{3} - (\frac{5^{t}}{\ln (5)}]_{0}^{3})$

Schritt 5

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.1

Berechne $\frac{1}{2} t^{2}$ bei $3$ und $0$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 3^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{5^{t}}{\ln (5)}]_{0}^{3})$

Schritt 5.2

Berechne $\frac{5^{t}}{\ln (5)}$ bei $3$ und $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{5^{3}}{\ln (5)} - \frac{5^{0}}{\ln (5)})$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 9 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{5^{3}}{\ln (5)} - \frac{5^{0}}{\ln (5)})$

Schritt 5.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $9$ .

$\frac{9}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{5^{3}}{\ln (5)} - \frac{5^{0}}{\ln (5)})$

Schritt 5.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{9}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0 - (\frac{5^{3}}{\ln (5)} - \frac{5^{0}}{\ln (5)})$

Schritt 5.3.4

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\frac{9}{2} + 0 (\frac{1}{2}) - (\frac{5^{3}}{\ln (5)} - \frac{5^{0}}{\ln (5)})$

Schritt 5.3.5

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} + 0 - (\frac{5^{3}}{\ln (5)} - \frac{5^{0}}{\ln (5)})$

Schritt 5.3.6

Addiere $\frac{9}{2}$ und $0$ .

$\frac{9}{2} - (\frac{5^{3}}{\ln (5)} - \frac{5^{0}}{\ln (5)})$

Schritt 5.3.7

Potenziere $5$ mit $3$ .

$\frac{9}{2} - (\frac{125}{\ln (5)} - \frac{5^{0}}{\ln (5)})$

Schritt 5.3.8

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{9}{2} - (\frac{125}{\ln (5)} - \frac{1}{\ln (5)})$

Schritt 5.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{9}{2} - \frac{125 - 1}{\ln (5)}$

Schritt 5.3.10

Subtrahiere $1$ von $125$ .

$\frac{9}{2} - \frac{124}{\ln (5)}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{9}{2} - \frac{124}{\ln (5)}$

Dezimalform:

$- 72.54553188 \dots$

Schritt 7