Analysis Beispiele

$\int_{0}^{3} \frac{2}{x - 3^{3}} d x$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\int_{0}^{3} \frac{2}{x - 1 \cdot 27} d x$

Schritt 1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $27$ .

$\int_{0}^{3} \frac{2}{x - 27} d x$

Schritt 2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{0}^{3} \frac{1}{x - 27} d x$

Schritt 3

Sei $u = x - 27$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = x - 27$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $x - 27$ .

$\frac{d}{d x} [x - 27]$

Schritt 3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 27$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 27]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 27]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 27]$

Schritt 3.1.4

Da $- 27$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 27$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 3.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 3.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x - 27$ ein.

$u_{lower} = 0 - 27$

Schritt 3.3

Subtrahiere $27$ von $0$ .

$u_{lower} = - 27$

Schritt 3.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x - 27$ ein.

$u_{upper} = 3 - 27$

Schritt 3.5

Subtrahiere $27$ von $3$ .

$u_{upper} = - 24$

Schritt 3.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - 27$

$u_{upper} = - 24$

Schritt 3.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$2 \int_{- 27}^{- 24} \frac{1}{u} d u$

Schritt 4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$2 (\ln (| u |)]_{- 27}^{- 24})$

Schritt 5

Berechne $\ln (| u |)$ bei $- 24$ und $- 27$ .

$2 (\ln (| - 24 |) - \ln (| - 27 |))$

Schritt 6

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \ln (\frac{| - 24 |}{| - 27 |})$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 24$ und $0$ ist $24$ .

$2 \ln (\frac{24}{| - 27 |})$

Schritt 7.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 27$ und $0$ ist $27$ .

$2 \ln (\frac{24}{27})$

Schritt 7.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $24$ und $27$ .

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Schritt 7.3.1

Faktorisiere $3$ aus $24$ heraus.

$2 \ln (\frac{3 (8)}{27})$

Schritt 7.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$2 \ln (\frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 9})$

Schritt 7.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \ln (\frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 9})$

Schritt 7.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \ln (\frac{8}{9})$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$2 \ln (\frac{8}{9})$

Dezimalform:

$- 0.23556607 \dots$

Schritt 9