Analysis Beispiele

$\int_{0}^{3} 10 x (3^{- x}) d x$

Schritt 1

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $10$ aus dem Integral.

$10 \int_{0}^{3} x \cdot (3^{- x}) d x$

Schritt 2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = 3^{- x}$ .

$10 (x (- \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x})]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} - \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x} d x)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kombiniere $3^{- x}$ und $\frac{1}{\ln (3)}$ .

$10 (x (- \frac{3^{- x}}{\ln (3)})]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} - \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x} d x)$

Schritt 3.2

Kombiniere $x$ und $\frac{3^{- x}}{\ln (3)}$ .

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} - \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x} d x)$

Schritt 3.3

Kombiniere $3^{- x}$ und $\frac{1}{\ln (3)}$ .

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} - \frac{3^{- x}}{\ln (3)} d x)$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} - - \int_{0}^{3} \frac{3^{- x}}{\ln (3)} d x)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} + 1 \int_{0}^{3} \frac{3^{- x}}{\ln (3)} d x)$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\int_{0}^{3} \frac{3^{- x}}{\ln (3)} d x$ mit $1$ .

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} + \int_{0}^{3} \frac{3^{- x}}{\ln (3)} d x)$

Schritt 6

Da $\frac{1}{\ln (3)}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{\ln (3)}$ aus dem Integral.

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} + \frac{1}{\ln (3)} \int_{0}^{3} 3^{- x} d x)$

Schritt 7

Sei $u = - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 7.1

Es sei $u = - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 7.1.1

Differenziere $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 7.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 7.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 7.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = - x$ ein.

$u_{lower} = - 0$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 7.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = - x$ ein.

$u_{upper} = - 1 \cdot 3$

Schritt 7.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$u_{upper} = - 3$

Schritt 7.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 3$

Schritt 7.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} + \frac{1}{\ln (3)} \int_{0}^{- 3} - 3^{u} d u)$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} + \frac{1}{\ln (3)} (- \int_{0}^{- 3} 3^{u} d u))$

Schritt 9

Das Integral von $3^{u}$ nach $u$ ist $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ .

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} + \frac{1}{\ln (3)} (- (\frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{0}^{- 3})))$

Schritt 10

Kombiniere $\frac{1}{\ln (3)}$ und $\frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{0}^{- 3}$ .

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} - \frac{\frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{0}^{- 3}}{\ln (3)})$

Schritt 11

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 11.1

Berechne $- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}$ bei $3$ und $0$ .

$10 ((- \frac{3 \cdot 3^{- 1 \cdot 3}}{\ln (3)}) + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{\frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{0}^{- 3}}{\ln (3)})$

Schritt 11.2

Berechne $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ bei $- 3$ und $0$ .

$10 ((- \frac{3 \cdot 3^{- 1 \cdot 3}}{\ln (3)}) + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Schritt 11.3

Vereinfache.

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Schritt 11.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$10 (- \frac{3 \cdot 3^{- 3}}{\ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Schritt 11.3.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 (- \frac{3 \cdot \frac{1}{3^{3}}}{\ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Schritt 11.3.3

Potenziere $3$ mit $3$ .

$10 (- \frac{3 \cdot \frac{1}{27}}{\ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Schritt 11.3.4

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{27}$ .

$10 (- \frac{\frac{3}{27}}{\ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Schritt 11.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $27$ .

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Schritt 11.3.5.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$10 (- \frac{\frac{3 (1)}{27}}{\ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Schritt 11.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.3.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$10 (- \frac{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 9}}{\ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Schritt 11.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$10 (- \frac{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 9}}{\ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Schritt 11.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$10 (- \frac{\frac{1}{9}}{\ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Schritt 11.3.6

Schreibe $\frac{\frac{1}{9}}{\ln (3)}$ als ein Produkt um.

$10 (- (\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{\ln (3)}) + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Schritt 11.3.7

Mutltipliziere $\frac{1}{9}$ mit $\frac{1}{\ln (3)}$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Schritt 11.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Schritt 11.3.9

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0 \cdot 1}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Schritt 11.3.10

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Schritt 11.3.11

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{\frac{1}{3^{3}}}{\ln (3)} - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Schritt 11.3.12

Potenziere $3$ mit $3$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{\frac{1}{27}}{\ln (3)} - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Schritt 11.3.13

Schreibe $\frac{\frac{1}{27}}{\ln (3)}$ als ein Produkt um.

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{1}{27} \cdot \frac{1}{\ln (3)} - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Schritt 11.3.14

Mutltipliziere $\frac{1}{27}$ mit $\frac{1}{\ln (3)}$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{1}{27 \ln (3)} - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Schritt 11.3.15

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{1}{27 \ln (3)} - \frac{1}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Schritt 11.3.16

Mutltipliziere $\frac{\frac{1}{27 \ln (3)} - \frac{1}{\ln (3)}}{\ln (3)}$ mit $\frac{27 \ln (3)}{27 \ln (3)}$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - (\frac{27 \ln (3)}{27 \ln (3)} \cdot \frac{\frac{1}{27 \ln (3)} - \frac{1}{\ln (3)}}{\ln (3)}))$

Schritt 11.3.17

Kombinieren.

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{27 \ln (3) (\frac{1}{27 \ln (3)} - \frac{1}{\ln (3)})}{27 \ln (3) \ln (3)})$

Schritt 11.3.18

Wende das Distributivgesetz an.

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{27 \ln (3) \frac{1}{27 \ln (3)} + 27 \ln (3) (- \frac{1}{\ln (3)})}{27 \ln (3) \ln (3)})$

Schritt 11.3.19

Kombiniere $\frac{1}{27 \ln (3)}$ und $27$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{27}{27 \ln (3)} \ln (3) + 27 \ln (3) (- \frac{1}{\ln (3)})}{27 \ln (3) \ln (3)})$

Schritt 11.3.20

Kombiniere $\frac{27}{27 \ln (3)}$ und $\ln (3)$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{27 \ln (3)}{27 \ln (3)} + 27 \ln (3) (- \frac{1}{\ln (3)})}{27 \ln (3) \ln (3)})$

Schritt 11.3.21

Kürze den gemeinsamen Faktor von $27$ .

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Schritt 11.3.21.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{27 \ln (3)}{27 \ln (3)} + 27 \ln (3) (- \frac{1}{\ln (3)})}{27 \ln (3) \ln (3)})$

Schritt 11.3.21.2

Forme den Ausdruck um.

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{\ln (3)}{\ln (3)} + 27 \ln (3) (- \frac{1}{\ln (3)})}{27 \ln (3) \ln (3)})$

Schritt 11.3.22

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (3)$ .

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Schritt 11.3.22.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{\ln (3)}{\ln (3)} + 27 \ln (3) (- \frac{1}{\ln (3)})}{27 \ln (3) \ln (3)})$

Schritt 11.3.22.2

Forme den Ausdruck um.

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{1 + 27 \ln (3) (- \frac{1}{\ln (3)})}{27 \ln (3) \ln (3)})$

Schritt 11.3.23

Mutltipliziere $- 1$ mit $27$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{1 - 27 \ln (3) \frac{1}{\ln (3)}}{27 \ln (3) \ln (3)})$

Schritt 11.3.24

Kombiniere $\frac{1}{\ln (3)}$ und $- 27$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{1 + \frac{- 27}{\ln (3)} \ln (3)}{27 \ln (3) \ln (3)})$

Schritt 11.3.25

Kombiniere $\frac{- 27}{\ln (3)}$ und $\ln (3)$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{1 + \frac{- 27 \ln (3)}{\ln (3)}}{27 \ln (3) \ln (3)})$

Schritt 11.3.26

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (3)$ .

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Schritt 11.3.26.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{1 + \frac{- 27 \ln (3)}{\ln (3)}}{27 \ln (3) \ln (3)})$

Schritt 11.3.26.2

Dividiere $- 27$ durch $1$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{1 - 27}{27 \ln (3) \ln (3)})$

Schritt 11.3.27

Subtrahiere $27$ von $1$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{- 26}{27 \ln (3) \ln (3)})$

Schritt 11.3.28

Potenziere $\ln (3)$ mit $1$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{- 26}{27 (\ln^{1} (3) \ln (3))})$

Schritt 11.3.29

Potenziere $\ln (3)$ mit $1$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{- 26}{27 (\ln^{1} (3) \ln^{1} (3))})$

Schritt 11.3.30

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{- 26}{27 {\ln (3)}^{1 + 1}})$

Schritt 11.3.31

Addiere $1$ und $1$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{- 26}{27 \ln^{2} (3)})$

Schritt 11.3.32

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - - \frac{26}{27 \ln^{2} (3)})$

Schritt 11.3.33

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} + 1 \frac{26}{27 \ln^{2} (3)})$

Schritt 11.3.34

Mutltipliziere $\frac{26}{27 \ln^{2} (3)}$ mit $1$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} + \frac{26}{27 \ln^{2} (3)})$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Dividiere $0$ durch $\ln (3)$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + 0 + \frac{26}{27 \ln^{2} (3)})$

Schritt 12.2

Addiere $- \frac{1}{9 \ln (3)}$ und $0$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{26}{27 \ln^{2} (3)})$

Schritt 12.3

Wende das Distributivgesetz an.

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)}) + 10 \frac{26}{27 \ln^{2} (3)}$

Schritt 12.4

Multipliziere $10 (- \frac{1}{9 \ln (3)})$ .

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Schritt 12.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$- 10 \frac{1}{9 \ln (3)} + 10 \frac{26}{27 \ln^{2} (3)}$

Schritt 12.4.2

Kombiniere $- 10$ und $\frac{1}{9 \ln (3)}$ .

$\frac{- 10}{9 \ln (3)} + 10 \frac{26}{27 \ln^{2} (3)}$

Schritt 12.5

Multipliziere $10 \frac{26}{27 \ln^{2} (3)}$ .

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Schritt 12.5.1

Kombiniere $10$ und $\frac{26}{27 \ln^{2} (3)}$ .

$\frac{- 10}{9 \ln (3)} + \frac{10 \cdot 26}{27 \ln^{2} (3)}$

Schritt 12.5.2

Mutltipliziere $10$ mit $26$ .

$\frac{- 10}{9 \ln (3)} + \frac{260}{27 \ln^{2} (3)}$

Schritt 12.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{10}{9 \ln (3)} + \frac{260}{27 \ln^{2} (3)}$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{10}{9 \ln (3)} + \frac{260}{27 \ln^{2} (3)}$

Dezimalform:

$6.96711259 \dots$

Schritt 14