Analysis Beispiele

$\int_{0}^{3} x^{3} - 4 x d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{3} x^{3} d x + \int_{0}^{3} - 4 x d x$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{3} + \int_{0}^{3} - 4 x d x$

Schritt 3

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{3} - 4 \int_{0}^{3} x d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{3} - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{3})$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{3} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3})$

Schritt 5.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Berechne $\frac{1}{4} x^{4}$ bei $3$ und $0$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 3^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3})$

Schritt 5.2.2

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $3$ und $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 3^{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 5.2.3.1

Potenziere $3$ mit $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 81 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 5.2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $81$ .

$\frac{81}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 5.2.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{81}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0 - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 5.2.3.4

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\frac{81}{4} + 0 (\frac{1}{4}) - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 5.2.3.5

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\frac{81}{4} + 0 - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 5.2.3.6

Addiere $\frac{81}{4}$ und $0$ .

$\frac{81}{4} - 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 5.2.3.7

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{81}{4} - 4 (\frac{9}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 5.2.3.8

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{81}{4} - 4 (\frac{9}{2} - \frac{0}{2})$

Schritt 5.2.3.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 5.2.3.9.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$\frac{81}{4} - 4 (\frac{9}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Schritt 5.2.3.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{81}{4} - 4 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Schritt 5.2.3.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{81}{4} - 4 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Schritt 5.2.3.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{81}{4} - 4 (\frac{9}{2} - \frac{0}{1})$

Schritt 5.2.3.9.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\frac{81}{4} - 4 (\frac{9}{2} - 0)$

Schritt 5.2.3.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{81}{4} - 4 (\frac{9}{2} + 0)$

Schritt 5.2.3.11

Addiere $\frac{9}{2}$ und $0$ .

$\frac{81}{4} - 4 (\frac{9}{2})$

Schritt 5.2.3.12

Kombiniere $- 4$ und $\frac{9}{2}$ .

$\frac{81}{4} + \frac{- 4 \cdot 9}{2}$

Schritt 5.2.3.13

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$\frac{81}{4} + \frac{- 36}{2}$

Schritt 5.2.3.14

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 36$ und $2$ .

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Schritt 5.2.3.14.1

Faktorisiere $2$ aus $- 36$ heraus.

$\frac{81}{4} + \frac{2 \cdot - 18}{2}$

Schritt 5.2.3.14.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.14.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{81}{4} + \frac{2 \cdot - 18}{2 (1)}$

Schritt 5.2.3.14.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{81}{4} + \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.14.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{81}{4} + \frac{- 18}{1}$

Schritt 5.2.3.14.2.4

Dividiere $- 18$ durch $1$ .

$\frac{81}{4} - 18$

Schritt 5.2.3.15

Um $- 18$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{81}{4} - 18 \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 5.2.3.16

Kombiniere $- 18$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{81}{4} + \frac{- 18 \cdot 4}{4}$

Schritt 5.2.3.17

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{81 - 18 \cdot 4}{4}$

Schritt 5.2.3.18

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.18.1

Mutltipliziere $- 18$ mit $4$ .

$\frac{81 - 72}{4}$

Schritt 5.2.3.18.2

Subtrahiere $72$ von $81$ .

$\frac{9}{4}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{9}{4}$

Dezimalform:

$2.25$

Darstellung als gemischte Zahl:

$2 \frac{1}{4}$

Schritt 7