Analysis Beispiele

$\int_{0}^{3} 21 x^{2} e^{x^{3}} d x$

Schritt 1

Da $21$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $21$ aus dem Integral.

$21 \int_{0}^{3} x^{2} e^{x^{3}} d x$

Schritt 2

Sei $u_{2} = e^{x^{3}}$ . Dann ist $d u_{2} = 3 x^{2} e^{x^{3}} d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} e^{x^{3}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u_{2} = e^{x^{3}}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $e^{x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{3}$ .

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Schritt 2.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{3}$ .

$e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$e^{x^{3}} (3 x^{2})$

Schritt 2.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.1.4.1

Stelle die Faktoren von $e^{x^{3}} (3 x^{2})$ um.

$3 e^{x^{3}} x^{2}$

Schritt 2.1.4.2

Stelle die Faktoren in $3 e^{x^{3}} x^{2}$ um.

$3 x^{2} e^{x^{3}}$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u_{2} = e^{x^{3}}$ ein.

$u_{lower} = e^{0^{3}}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = e^{0}$

Schritt 2.3.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u_{2} = e^{x^{3}}$ ein.

$u_{upper} = e^{3^{3}}$

Schritt 2.5

Potenziere $3$ mit $3$ .

$u_{upper} = e^{27}$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e^{27}$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{2}$ , $d u_{2}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$21 \int_{1}^{e^{27}} \frac{1}{3} d u_{2}$

Schritt 3

Wende die Konstantenregel an.

$21 (\frac{1}{3} u_{2}]_{1}^{e^{27}})$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $u_{2}$ .

$21 (\frac{u_{2}}{3}]_{1}^{e^{27}})$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{u_{2}}{3}$ bei $e^{27}$ und $1$ .

$21 (\frac{e^{27}}{3} - \frac{1}{3})$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$21 \frac{e^{27}}{3} + 21 (- \frac{1}{3})$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $21$ heraus.

$3 (7) \frac{e^{27}}{3} + 21 (- \frac{1}{3})$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot 7 \frac{e^{27}}{3} + 21 (- \frac{1}{3})$

Schritt 5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$7 e^{27} + 21 (- \frac{1}{3})$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{3}$ in den Zähler.

$7 e^{27} + 21 (\frac{- 1}{3})$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $3$ aus $21$ heraus.

$7 e^{27} + 3 (7) \frac{- 1}{3}$

Schritt 5.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7 e^{27} + 3 \cdot 7 \frac{- 1}{3}$

Schritt 5.3.4

Forme den Ausdruck um.

$7 e^{27} + 7 \cdot - 1$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$7 e^{27} - 7$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$7 e^{27} - 7$

Dezimalform:

$3724337684205.58 \dots$

Schritt 7