Analysis Beispiele

$\int_{0}^{3} 200 e^{0.1 t} d t$

Schritt 1

Da $200$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $200$ aus dem Integral.

$200 \int_{0}^{3} e^{0.1 t} d t$

Schritt 2

Sei $u = 0.1 t$ . Dann ist $d u = 0.1 d t$ , folglich $\frac{1}{0.1} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 0.1 t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $0.1 t$ .

$\frac{d}{d t} [0.1 t]$

Schritt 2.1.2

Da $0.1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $0.1 t$ nach $t$ gleich $0.1 \frac{d}{d t} [t]$ .

$0.1 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0.1 \cdot 1$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $0.1$ mit $1$ .

$0.1$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $t$ in $u = 0.1 t$ ein.

$u_{lower} = 0.1 \cdot 0$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $0.1$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $t$ in $u = 0.1 t$ ein.

$u_{upper} = 0.1 \cdot 3$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $0.1$ mit $3$ .

$u_{upper} = 0.3$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 0.3$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$200 \int_{0}^{0.3} e^{u} \frac{1}{0.1} d u$

Schritt 3

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{0.1}$ .

$200 \int_{0}^{0.3} \frac{e^{u}}{0.1} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{0.1}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{0.1}$ aus dem Integral.

$200 (\frac{1}{0.1} \int_{0}^{0.3} e^{u} d u)$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{0.1}$ und $200$ .

$\frac{200}{0.1} \int_{0}^{0.3} e^{u} d u$

Schritt 6

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\frac{200}{0.1} e^{u}]_{0}^{0.3}$

Schritt 7

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1

Berechne $e^{u}$ bei $0.3$ und $0$ .

$\frac{200}{0.1} ((e^{0.3}) - e^{0})$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{200}{0.1} (e^{0.3} - 1 \cdot 1)$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{200}{0.1} (e^{0.3} - 1)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Dividiere $200$ durch $0.1$ .

$2000 (e^{0.3} - 1)$

Schritt 8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2000 e^{0.3} + 2000 \cdot - 1$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $2000$ mit $- 1$ .

$2000 e^{0.3} - 2000$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$2000 e^{0.3} - 2000$

Dezimalform:

$699.71761515 \dots$

Schritt 10