Analysis Beispiele

$\int_{0}^{4} 7 x^{2} - 4 x + 3 d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{4} 7 x^{2} d x + \int_{0}^{4} - 4 x d x + \int_{0}^{4} 3 d x$

Schritt 2

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $7$ aus dem Integral.

$7 \int_{0}^{4} x^{2} d x + \int_{0}^{4} - 4 x d x + \int_{0}^{4} 3 d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$7 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - 4 x d x + \int_{0}^{4} 3 d x$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$7 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - 4 x d x + \int_{0}^{4} 3 d x$

Schritt 5

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$7 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) - 4 \int_{0}^{4} x d x + \int_{0}^{4} 3 d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$7 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} 3 d x$

Schritt 7

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$7 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} 3 d x$

Schritt 8

Wende die Konstantenregel an.

$7 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) + 3 x]_{0}^{4}$

Schritt 9

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.1

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $4$ und $0$ .

$7 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) + 3 x]_{0}^{4}$

Schritt 9.2

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $4$ und $0$ .

$7 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 x]_{0}^{4}$

Schritt 9.3

Berechne $3 x$ bei $4$ und $0$ .

$7 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Schritt 9.4

Vereinfache.

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Schritt 9.4.1

Potenziere $4$ mit $3$ .

$7 (\frac{64}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Schritt 9.4.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$7 (\frac{64}{3} - \frac{0}{3}) - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Schritt 9.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 9.4.3.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$7 (\frac{64}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Schritt 9.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.4.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$7 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Schritt 9.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Schritt 9.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$7 (\frac{64}{3} - \frac{0}{1}) - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Schritt 9.4.3.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$7 (\frac{64}{3} - 0) - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Schritt 9.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$7 (\frac{64}{3} + 0) - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Schritt 9.4.5

Addiere $\frac{64}{3}$ und $0$ .

$7 (\frac{64}{3}) - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Schritt 9.4.6

Kombiniere $7$ und $\frac{64}{3}$ .

$\frac{7 \cdot 64}{3} - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Schritt 9.4.7

Mutltipliziere $7$ mit $64$ .

$\frac{448}{3} - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Schritt 9.4.8

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{448}{3} - 4 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Schritt 9.4.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $2$ .

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Schritt 9.4.9.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$\frac{448}{3} - 4 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Schritt 9.4.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.4.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{448}{3} - 4 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Schritt 9.4.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{448}{3} - 4 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Schritt 9.4.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{448}{3} - 4 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Schritt 9.4.9.2.4

Dividiere $8$ durch $1$ .

$\frac{448}{3} - 4 (8 - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Schritt 9.4.10

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{448}{3} - 4 (8 - \frac{0}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Schritt 9.4.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 9.4.11.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$\frac{448}{3} - 4 (8 - \frac{2 (0)}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Schritt 9.4.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.4.11.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{448}{3} - 4 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Schritt 9.4.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{448}{3} - 4 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Schritt 9.4.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{448}{3} - 4 (8 - \frac{0}{1}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Schritt 9.4.11.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\frac{448}{3} - 4 (8 - 0) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Schritt 9.4.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{448}{3} - 4 (8 + 0) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Schritt 9.4.13

Addiere $8$ und $0$ .

$\frac{448}{3} - 4 \cdot 8 + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Schritt 9.4.14

Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$\frac{448}{3} - 32 + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Schritt 9.4.15

Um $- 32$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{448}{3} - 32 \cdot \frac{3}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Schritt 9.4.16

Kombiniere $- 32$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{448}{3} + \frac{- 32 \cdot 3}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Schritt 9.4.17

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{448 - 32 \cdot 3}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Schritt 9.4.18

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.4.18.1

Mutltipliziere $- 32$ mit $3$ .

$\frac{448 - 96}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Schritt 9.4.18.2

Subtrahiere $96$ von $448$ .

$\frac{352}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Schritt 9.4.19

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{352}{3} + 12 - 3 \cdot 0$

Schritt 9.4.20

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$\frac{352}{3} + 12 + 0$

Schritt 9.4.21

Addiere $12$ und $0$ .

$\frac{352}{3} + 12$

Schritt 9.4.22

Um $12$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{352}{3} + 12 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 9.4.23

Kombiniere $12$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{352}{3} + \frac{12 \cdot 3}{3}$

Schritt 9.4.24

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{352 + 12 \cdot 3}{3}$

Schritt 9.4.25

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.4.25.1

Mutltipliziere $12$ mit $3$ .

$\frac{352 + 36}{3}$

Schritt 9.4.25.2

Addiere $352$ und $36$ .

$\frac{388}{3}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{388}{3}$

Dezimalform:

$129.\overline{3}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$129 \frac{1}{3}$

Schritt 11