Analysis Beispiele

$\int_{0}^{4} 4 x - 3 \sqrt{x} d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{4} 4 x d x + \int_{0}^{4} - 3 \sqrt{x} d x$

Schritt 2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int_{0}^{4} x d x + \int_{0}^{4} - 3 \sqrt{x} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - 3 \sqrt{x} d x$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - 3 \sqrt{x} d x$

Schritt 5

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) - 3 \int_{0}^{4} \sqrt{x} d x$

Schritt 6

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) - 3 \int_{0}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) - 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{4})$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) - 3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{4})$

Schritt 8.2

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $4$ und $0$ .

$4 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{4})$

Schritt 8.2.2

Berechne $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ bei $4$ und $0$ .

$4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 8.2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.3.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$4 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 8.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$4 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 8.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$4 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 8.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 8.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 8.2.3.2.2.4

Dividiere $8$ durch $1$ .

$4 (8 - \frac{0^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 8.2.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$4 (8 - \frac{0}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 8.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$4 (8 - \frac{2 (0)}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 8.2.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$4 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 8.2.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 8.2.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 (8 - \frac{0}{1}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 8.2.3.4.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$4 (8 - 0) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 8.2.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$4 (8 + 0) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 8.2.3.6

Addiere $8$ und $0$ .

$4 \cdot 8 - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 8.2.3.7

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$32 - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 8.2.3.8

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$32 - 3 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 8.2.3.9

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$32 - 3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 8.2.3.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.3.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$32 - 3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 8.2.3.10.2

Forme den Ausdruck um.

$32 - 3 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 8.2.3.11

Potenziere $2$ mit $3$ .

$32 - 3 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 8.2.3.12

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$32 - 3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 8.2.3.13

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$32 - 3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 8.2.3.14

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$32 - 3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Schritt 8.2.3.15

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.3.15.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$32 - 3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Schritt 8.2.3.15.2

Forme den Ausdruck um.

$32 - 3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3})$

Schritt 8.2.3.16

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$32 - 3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0}{3})$

Schritt 8.2.3.17

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$32 - 3 (\frac{16}{3} - \frac{0}{3})$

Schritt 8.2.3.18

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.3.18.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$32 - 3 (\frac{16}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Schritt 8.2.3.18.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.3.18.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$32 - 3 (\frac{16}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Schritt 8.2.3.18.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$32 - 3 (\frac{16}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Schritt 8.2.3.18.2.3

Forme den Ausdruck um.

$32 - 3 (\frac{16}{3} - \frac{0}{1})$

Schritt 8.2.3.18.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$32 - 3 (\frac{16}{3} - 0)$

Schritt 8.2.3.19

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$32 - 3 (\frac{16}{3} + 0)$

Schritt 8.2.3.20

Addiere $\frac{16}{3}$ und $0$ .

$32 - 3 (\frac{16}{3})$

Schritt 8.2.3.21

Kombiniere $- 3$ und $\frac{16}{3}$ .

$32 + \frac{- 3 \cdot 16}{3}$

Schritt 8.2.3.22

Mutltipliziere $- 3$ mit $16$ .

$32 + \frac{- 48}{3}$

Schritt 8.2.3.23

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 48$ und $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.3.23.1

Faktorisiere $3$ aus $- 48$ heraus.

$32 + \frac{3 \cdot - 16}{3}$

Schritt 8.2.3.23.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.3.23.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$32 + \frac{3 \cdot - 16}{3 (1)}$

Schritt 8.2.3.23.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$32 + \frac{3 \cdot - 16}{3 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.23.2.3

Forme den Ausdruck um.

$32 + \frac{- 16}{1}$

Schritt 8.2.3.23.2.4

Dividiere $- 16$ durch $1$ .

$32 - 16$

Schritt 8.2.3.24

Subtrahiere $16$ von $32$ .

$16$

Schritt 9