Analysis Beispiele

$\int_{0}^{4} x^{2} - 4 x d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{4} x^{2} d x + \int_{0}^{4} - 4 x d x$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4} + \int_{0}^{4} - 4 x d x$

Schritt 3

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4} - 4 \int_{0}^{4} x d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4} - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{4})$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Schritt 5.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Berechne $\frac{1}{3} x^{3}$ bei $4$ und $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Schritt 5.2.2

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $4$ und $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 5.2.3.1

Potenziere $4$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 64 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 5.2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $64$ .

$\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 5.2.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0 - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 5.2.3.4

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\frac{64}{3} + 0 (\frac{1}{3}) - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 5.2.3.5

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{64}{3} + 0 - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 5.2.3.6

Addiere $\frac{64}{3}$ und $0$ .

$\frac{64}{3} - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 5.2.3.7

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{64}{3} - 4 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 5.2.3.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $2$ .

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Schritt 5.2.3.8.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$\frac{64}{3} - 4 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 5.2.3.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{64}{3} - 4 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 5.2.3.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{64}{3} - 4 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 5.2.3.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{64}{3} - 4 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 5.2.3.8.2.4

Dividiere $8$ durch $1$ .

$\frac{64}{3} - 4 (8 - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 5.2.3.9

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{64}{3} - 4 (8 - \frac{0}{2})$

Schritt 5.2.3.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 5.2.3.10.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$\frac{64}{3} - 4 (8 - \frac{2 (0)}{2})$

Schritt 5.2.3.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.10.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{64}{3} - 4 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Schritt 5.2.3.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{64}{3} - 4 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Schritt 5.2.3.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{64}{3} - 4 (8 - \frac{0}{1})$

Schritt 5.2.3.10.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\frac{64}{3} - 4 (8 - 0)$

Schritt 5.2.3.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{64}{3} - 4 (8 + 0)$

Schritt 5.2.3.12

Addiere $8$ und $0$ .

$\frac{64}{3} - 4 \cdot 8$

Schritt 5.2.3.13

Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$\frac{64}{3} - 32$

Schritt 5.2.3.14

Um $- 32$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64}{3} - 32 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 5.2.3.15

Kombiniere $- 32$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64}{3} + \frac{- 32 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.3.16

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{64 - 32 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.3.17

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.17.1

Mutltipliziere $- 32$ mit $3$ .

$\frac{64 - 96}{3}$

Schritt 5.2.3.17.2

Subtrahiere $96$ von $64$ .

$\frac{- 32}{3}$

Schritt 5.2.3.18

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{32}{3}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{32}{3}$

Dezimalform:

$- 10.\overline{6}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$- 10 \frac{2}{3}$

Schritt 7