Analysis Beispiele

$\int_{0}^{3} 6 + 6 y - y^{2} d y$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{3} 6 d y + \int_{0}^{3} 6 y d y + \int_{0}^{3} - y^{2} d y$

Schritt 2

Wende die Konstantenregel an.

$6 y]_{0}^{3} + \int_{0}^{3} 6 y d y + \int_{0}^{3} - y^{2} d y$

Schritt 3

Da $6$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$6 y]_{0}^{3} + 6 \int_{0}^{3} y d y + \int_{0}^{3} - y^{2} d y$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$6 y]_{0}^{3} + 6 (\frac{1}{2} y^{2}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - y^{2} d y$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$6 y]_{0}^{3} + 6 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - y^{2} d y$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$6 y]_{0}^{3} + 6 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{3}) - \int_{0}^{3} y^{2} d y$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$6 y]_{0}^{3} + 6 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{3}) - (\frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{3})$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{3}$ .

$6 y]_{0}^{3} + 6 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{3}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{3})$

Schritt 8.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Berechne $6 y$ bei $3$ und $0$ .

$(6 \cdot 3) - 6 \cdot 0 + 6 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{3}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{3})$

Schritt 8.2.2

Berechne $\frac{y^{2}}{2}$ bei $3$ und $0$ .

$6 \cdot 3 - 6 \cdot 0 + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{3})$

Schritt 8.2.3

Berechne $\frac{y^{3}}{3}$ bei $3$ und $0$ .

$6 \cdot 3 - 6 \cdot 0 + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4

Vereinfache.

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Schritt 8.2.4.1

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$18 - 6 \cdot 0 + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $0$ .

$18 + 0 + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.3

Addiere $18$ und $0$ .

$18 + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$18 + 6 (\frac{9}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$18 + 6 (\frac{9}{2} - \frac{0}{2}) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 8.2.4.6.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$18 + 6 (\frac{9}{2} - \frac{2 (0)}{2}) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.4.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$18 + 6 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$18 + 6 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$18 + 6 (\frac{9}{2} - \frac{0}{1}) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.6.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$18 + 6 (\frac{9}{2} - 0) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$18 + 6 (\frac{9}{2} + 0) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.8

Addiere $\frac{9}{2}$ und $0$ .

$18 + 6 (\frac{9}{2}) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.9

Kombiniere $6$ und $\frac{9}{2}$ .

$18 + \frac{6 \cdot 9}{2} - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.10

Mutltipliziere $6$ mit $9$ .

$18 + \frac{54}{2} - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $54$ und $2$ .

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Schritt 8.2.4.11.1

Faktorisiere $2$ aus $54$ heraus.

$18 + \frac{2 \cdot 27}{2} - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.4.11.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$18 + \frac{2 \cdot 27}{2 (1)} - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$18 + \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 1} - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$18 + \frac{27}{1} - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.11.2.4

Dividiere $27$ durch $1$ .

$18 + 27 - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.12

Addiere $18$ und $27$ .

$45 - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.13

Potenziere $3$ mit $3$ .

$45 - (\frac{27}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.14

Kürze den gemeinsamen Teiler von $27$ und $3$ .

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Schritt 8.2.4.14.1

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$45 - (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.14.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.4.14.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$45 - (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.14.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$45 - (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.14.2.3

Forme den Ausdruck um.

$45 - (\frac{9}{1} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.14.2.4

Dividiere $9$ durch $1$ .

$45 - (9 - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.15

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$45 - (9 - \frac{0}{3})$

Schritt 8.2.4.16

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 8.2.4.16.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$45 - (9 - \frac{3 (0)}{3})$

Schritt 8.2.4.16.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.4.16.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$45 - (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Schritt 8.2.4.16.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$45 - (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Schritt 8.2.4.16.2.3

Forme den Ausdruck um.

$45 - (9 - \frac{0}{1})$

Schritt 8.2.4.16.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$45 - (9 - 0)$

Schritt 8.2.4.17

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$45 - (9 + 0)$

Schritt 8.2.4.18

Addiere $9$ und $0$ .

$45 - 1 \cdot 9$

Schritt 8.2.4.19

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$45 - 9$

Schritt 8.2.4.20

Subtrahiere $9$ von $45$ .

$36$

Schritt 9