Analysis Beispiele

$\int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} \cdot {(3 + \sin (4 x))}^{2} d x$

Schritt 1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} {(3 + \sin (4 x))}^{2} d x$

Schritt 2

Sei $u_{1} = 4 x$ . Dann ist $d u_{1} = 4 d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u_{1} = 4 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 2.1.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u_{1} = 4 x$ ein.

$u_{lower} = 4 \cdot 0$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u_{1} = 4 x$ ein.

$u_{upper} = 4 (2 π)$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$u_{upper} = 8 π$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 8 π$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{1}$ , $d u_{1}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{8 π} {(3 + \sin (u_{1}))}^{2} \frac{1}{4} d u_{1}$

Schritt 3

Kombiniere ${(3 + \sin (u_{1}))}^{2}$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{8 π} \frac{{(3 + \sin (u_{1}))}^{2}}{4} d u_{1}$

Schritt 4

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \int_{0}^{8 π} {(3 + \sin (u_{1}))}^{2} d u_{1})$

Schritt 5

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 5.1

Vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 2} \int_{0}^{8 π} {(3 + \sin (u_{1}))}^{2} d u_{1}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} {(3 + \sin (u_{1}))}^{2} d u_{1}$

Schritt 5.2

Multipliziere ${(3 + \sin (u_{1}))}^{2}$ aus.

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Schritt 5.2.1

Schreibe ${(3 + \sin (u_{1}))}^{2}$ als $(3 + \sin (u_{1})) (3 + \sin (u_{1}))$ um.

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} (3 + \sin (u_{1})) (3 + \sin (u_{1})) d u_{1}$

Schritt 5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 3 (3 + \sin (u_{1})) + \sin (u_{1}) (3 + \sin (u_{1})) d u_{1}$

Schritt 5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 3 \cdot 3 + 3 \sin (u_{1}) + \sin (u_{1}) (3 + \sin (u_{1})) d u_{1}$

Schritt 5.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 3 \cdot 3 + 3 \sin (u_{1}) + \sin (u_{1}) \cdot 3 + \sin (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 5.2.5

Stelle $\sin (u_{1})$ und $3$ um.

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 3 \cdot 3 + 3 \sin (u_{1}) + 3 \cdot \sin (u_{1}) + \sin (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 5.2.6

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 9 + 3 \sin (u_{1}) + 3 \sin (u_{1}) + \sin (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 5.2.7

Potenziere $\sin (u_{1})$ mit $1$ .

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 9 + 3 \sin (u_{1}) + 3 \sin (u_{1}) + \sin^{1} (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 5.2.8

Potenziere $\sin (u_{1})$ mit $1$ .

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 9 + 3 \sin (u_{1}) + 3 \sin (u_{1}) + \sin^{1} (u_{1}) \sin^{1} (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 5.2.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 9 + 3 \sin (u_{1}) + 3 \sin (u_{1}) + {\sin (u_{1})}^{1 + 1} d u_{1}$

Schritt 5.2.10

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 9 + 3 \sin (u_{1}) + 3 \sin (u_{1}) + \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 5.2.11

Addiere $3 \sin (u_{1})$ und $3 \sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{8} \int_{0}^{8 π} 9 + 6 \sin (u_{1}) + \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{8} (\int_{0}^{8 π} 9 d u_{1} + \int_{0}^{8 π} 6 \sin (u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{8 π} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Schritt 7

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + \int_{0}^{8 π} 6 \sin (u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{8 π} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Schritt 8

Da $6$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 \int_{0}^{8 π} \sin (u_{1}) d u_{1} + \int_{0}^{8 π} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Schritt 9

Das Integral von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \int_{0}^{8 π} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Schritt 10

Benutze die Halbwinkelformel, um $\sin^{2} (u_{1})$ als $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \int_{0}^{8 π} \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1})$

Schritt 11

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} \int_{0}^{8 π} 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Schritt 12

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} (\int_{0}^{8 π} d u_{1} + \int_{0}^{8 π} - \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Schritt 13

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{8 π} + \int_{0}^{8 π} - \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Schritt 14

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{8 π} - \int_{0}^{8 π} \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Schritt 15

Sei $u_{2} = 2 u_{1}$ . Dann ist $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 15.1

Es sei $u_{2} = 2 u_{1}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 15.1.1

Differenziere $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Schritt 15.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $2 u_{1}$ nach $u_{1}$ gleich $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Schritt 15.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 15.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 15.2

Setze die untere Grenze für $u_{1}$ in $u_{2} = 2 u_{1}$ ein.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Schritt 15.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 15.4

Setze die obere Grenze für $u_{1}$ in $u_{2} = 2 u_{1}$ ein.

$u_{upper} = 2 (8 π)$

Schritt 15.5

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$u_{upper} = 16 π$

Schritt 15.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 16 π$

Schritt 15.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{2}$ , $d u_{2}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{8 π} - \int_{0}^{16 π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}))$

Schritt 16

Kombiniere $\cos (u_{2})$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{8 π} - \int_{0}^{16 π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}))$

Schritt 17

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{8 π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{16 π} \cos (u_{2}) d u_{2})))$

Schritt 18

Das Integral von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{8} (9 u_{1}]_{0}^{8 π} + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{8 π} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{16 π}))$

Schritt 19

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 19.1

Berechne $9 u_{1}$ bei $8 π$ und $0$ .

$\frac{1}{8} ((9 (8 π)) - 9 \cdot 0 + 6 (- \cos (u_{1})]_{0}^{8 π}) + \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{8 π} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{16 π}))$

Schritt 19.2

Berechne $- \cos (u_{1})$ bei $8 π$ und $0$ .

$\frac{1}{8} (9 (8 π) - 9 \cdot 0 + 6 (- \cos (8 π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{8 π} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{16 π}))$

Schritt 19.3

Berechne $u_{1}$ bei $8 π$ und $0$ .

$\frac{1}{8} (9 (8 π) - 9 \cdot 0 + 6 (- \cos (8 π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((8 π) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{16 π}))$

Schritt 19.4

Berechne $\sin (u_{2})$ bei $16 π$ und $0$ .

$\frac{1}{8} (9 (8 π) - 9 \cdot 0 + 6 (- \cos (8 π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((8 π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (16 π)) - \sin (0))))$

Schritt 19.5

Vereinfache.

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Schritt 19.5.1

Mutltipliziere $8$ mit $9$ .

$\frac{1}{8} (72 π - 9 \cdot 0 + 6 (- \cos (8 π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((8 π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (16 π)) - \sin (0))))$

Schritt 19.5.2

Mutltipliziere $- 9$ mit $0$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + 6 (- \cos (8 π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((8 π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (16 π)) - \sin (0))))$

Schritt 19.5.3

Addiere $72 π$ und $0$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- \cos (8 π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((8 π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (16 π)) - \sin (0))))$

Schritt 19.5.4

Addiere $8 π$ und $0$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- \cos (8 π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{1}{2} (\sin (16 π) - \sin (0))))$

Schritt 20

Vereinfache.

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Schritt 20.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- \cos (8 π) + 1) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{1}{2} (\sin (16 π) - \sin (0))))$

Schritt 20.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- \cos (8 π) + 1) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{1}{2} (\sin (16 π) - 0)))$

Schritt 20.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- \cos (8 π) + 1) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{1}{2} (\sin (16 π) + 0)))$

Schritt 20.4

Addiere $\sin (16 π)$ und $0$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- \cos (8 π) + 1) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{1}{2} \sin (16 π)))$

Schritt 20.5

Kombiniere $\sin (16 π)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- \cos (8 π) + 1) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{\sin (16 π)}{2}))$

Schritt 21

Vereinfache.

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Schritt 21.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- \cos (0) + 1) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{\sin (16 π)}{2}))$

Schritt 21.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- 1 \cdot 1 + 1) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{\sin (16 π)}{2}))$

Schritt 21.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 6 (- 1 + 1) + \frac{1}{2} (8 π - \frac{\sin (16 π)}{2}))$

Schritt 21.4

Addiere $- 1$ und $1$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 6 \cdot 0 + \frac{1}{2} (8 π - \frac{\sin (16 π)}{2}))$

Schritt 21.5

Mutltipliziere $6$ mit $0$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + \frac{1}{2} (8 π - \frac{\sin (16 π)}{2}))$

Schritt 21.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 21.6.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + \frac{1}{2} (8 π - \frac{\sin (0)}{2}))$

Schritt 21.6.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + \frac{1}{2} (8 π - \frac{0}{2}))$

Schritt 21.7

Dividiere $0$ durch $2$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + \frac{1}{2} (8 π - 0))$

Schritt 21.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + \frac{1}{2} (8 π + 0))$

Schritt 21.9

Addiere $8 π$ und $0$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + \frac{1}{2} (8 π))$

Schritt 21.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 21.10.1

Faktorisiere $2$ aus $8 π$ heraus.

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + \frac{1}{2} (2 (4 π)))$

Schritt 21.10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + \frac{1}{2} (2 (4 π)))$

Schritt 21.10.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{8} (72 π + 0 + 4 π)$

Schritt 21.11

Addiere $72 π$ und $0$ .

$\frac{1}{8} (72 π + 4 π)$

Schritt 21.12

Addiere $72 π$ und $4 π$ .

$\frac{1}{8} (76 π)$

Schritt 21.13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 21.13.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{1}{4 (2)} (76 π)$

Schritt 21.13.2

Faktorisiere $4$ aus $76 π$ heraus.

$\frac{1}{4 (2)} (4 (19 π))$

Schritt 21.13.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4 \cdot 2} (4 (19 π))$

Schritt 21.13.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (19 π)$

Schritt 21.14

Kombiniere $19$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{19}{2} π$

Schritt 21.15

Kombiniere $\frac{19}{2}$ und $π$ .

$\frac{19 π}{2}$

Schritt 22

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{19 π}{2}$

Dezimalform:

$29.84513020 \dots$