Analysis Beispiele

$\int_{0}^{2 π} \cos^{2} (x) \sin (x) d x$

Schritt 1

Sei $u = \cos (x)$ . Dann ist $d u = - \sin (x) d x$ , folglich $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = \cos (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \cos (x)$ ein.

$u_{lower} = \cos (0)$

Schritt 1.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \cos (x)$ ein.

$u_{upper} = \cos (2 π)$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$u_{upper} = \cos (0)$

Schritt 1.5.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$u_{upper} = 1$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 1$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{1} - u^{2} d u$

Schritt 2

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{1}^{1} u^{2} d u$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{1})$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $u^{3}$ .

$- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{1})$

Schritt 5

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.1

Berechne $\frac{u^{3}}{3}$ bei $1$ und $1$ .

$- ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- (\frac{1}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 5.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- (\frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

Schritt 5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1 - 1}{3}$

Schritt 5.2.4

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$- \frac{0}{3}$

Schritt 5.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 5.2.5.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$- \frac{3 (0)}{3}$

Schritt 5.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$- \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}$

Schritt 5.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}$

Schritt 5.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{0}{1}$

Schritt 5.2.5.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- 0$

Schritt 5.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0$