Analysis Beispiele

$\int_{0}^{2 π} \cos^{2} (x) d x$

Schritt 1

Benutze die Halbwinkelformel, um $\cos^{2} (x)$ als $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ neu zu schreiben.

$\int_{0}^{2 π} \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Schritt 2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} 1 + \cos (2 x) d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} (\int_{0}^{2 π} d x + \int_{0}^{2 π} \cos (2 x) d x)$

Schritt 4

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{2 π} \cos (2 x) d x)$

Schritt 5

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 5.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 5.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 5.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{upper} = 2 (2 π)$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$u_{upper} = 4 π$

Schritt 5.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4 π$

Schritt 5.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{4 π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Schritt 6

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{4 π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Schritt 7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{2 π} + \frac{1}{2} \int_{0}^{4 π} \cos (u) d u)$

Schritt 8

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{2 π} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{4 π})$

Schritt 9

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Berechne $x$ bei $2 π$ und $0$ .

$\frac{1}{2} ((2 π) + 0 + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{4 π})$

Schritt 9.2

Berechne $\sin (u)$ bei $4 π$ und $0$ .

$\frac{1}{2} ((2 π) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (4 π)) - \sin (0)))$

Schritt 9.3

Addiere $2 π$ und $0$ .

$\frac{1}{2} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0)))$

Schritt 10

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{2} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - 0))$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) + 0))$

Schritt 10.3

Addiere $\sin (4 π)$ und $0$ .

$\frac{1}{2} (2 π + \frac{1}{2} \sin (4 π))$

Schritt 10.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (4 π)$ .

$\frac{1}{2} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2})$

Schritt 11

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1.1.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\frac{1}{2} (2 π + \frac{\sin (0)}{2})$

Schritt 11.1.1.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{2} (2 π + \frac{0}{2})$

Schritt 11.1.2

Dividiere $0$ durch $2$ .

$\frac{1}{2} (2 π + 0)$

Schritt 11.2

Addiere $2 π$ und $0$ .

$\frac{1}{2} (2 π)$

Schritt 11.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$\frac{1}{2} (2 (π))$

Schritt 11.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (2 π)$

Schritt 11.3.3

Forme den Ausdruck um.

$π$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$π$

Dezimalform:

$3.14159265 \dots$