Analysis Beispiele

$\int_{0}^{2} x \sqrt[3]{4 + x^{2}} d x$

Schritt 1

Sei $u = 4 + x^{2}$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 4 + x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $4 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 + x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Schritt 1.1.5

Addiere $0$ und $2 x$ .

$2 x$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 4 + x^{2}$ ein.

$u_{lower} = 4 + 0^{2}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 4 + 0$

Schritt 1.3.2

Addiere $4$ und $0$ .

$u_{lower} = 4$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 4 + x^{2}$ ein.

$u_{upper} = 4 + 2^{2}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$u_{upper} = 4 + 4$

Schritt 1.5.2

Addiere $4$ und $4$ .

$u_{upper} = 8$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 8$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{4}^{8} \sqrt[3]{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 2

Kombiniere $\sqrt[3]{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int_{4}^{8} \frac{\sqrt[3]{u}}{2} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{8} \sqrt[3]{u} d u$

Schritt 4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{u}$ als $u^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{8} u^{\frac{1}{3}} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{3}}$ nach $u$ gleich $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{4}^{8}$

Schritt 6

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.1

Berechne $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ bei $8$ und $4$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Schritt 6.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Schritt 6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Schritt 6.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} \cdot 2^{4} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Schritt 6.2.4

Potenziere $2$ mit $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Schritt 6.2.5

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $16$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Schritt 6.2.6

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$\frac{1}{2} (\frac{48}{4} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Schritt 6.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $48$ und $4$ .

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Schritt 6.2.7.1

Faktorisiere $4$ aus $48$ heraus.

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Schritt 6.2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.7.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Schritt 6.2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Schritt 6.2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (\frac{12}{1} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Schritt 6.2.7.2.4

Dividiere $12$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} (12 - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Schritt 6.2.8

Kombiniere $4^{\frac{4}{3}}$ und $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1}{2} (12 - \frac{4^{\frac{4}{3}} \cdot 3}{4})$

Schritt 6.2.9

Bringe $3$ auf die linke Seite von $4^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (12 - \frac{3 \cdot 4^{\frac{4}{3}}}{4})$

Schritt 6.2.10

Bringe $4^{1}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{\frac{4}{3}} \cdot 4^{- 1}))$

Schritt 6.2.11

Multipliziere $4^{\frac{4}{3}}$ mit $4^{- 1}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.11.1

Bewege $4^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot (4^{- 1} \cdot 4^{\frac{4}{3}})))$

Schritt 6.2.11.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{- 1 + \frac{4}{3}}))$

Schritt 6.2.11.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{4}{3}}))$

Schritt 6.2.11.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{4}{3}}))$

Schritt 6.2.11.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{\frac{- 1 \cdot 3 + 4}{3}}))$

Schritt 6.2.11.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.11.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{\frac{- 3 + 4}{3}}))$

Schritt 6.2.11.6.2

Addiere $- 3$ und $4$ .

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{\frac{1}{3}}))$

Schritt 6.2.12

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} (12 - 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}})$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \cdot 12 + \frac{1}{2} (- 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}})$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$\frac{1}{2} \cdot (2 (6)) + \frac{1}{2} (- 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}})$

Schritt 7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 6) + \frac{1}{2} (- 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}})$

Schritt 7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$6 + \frac{1}{2} (- 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}})$

Schritt 7.3

Multipliziere $\frac{1}{2} (- 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}})$ .

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Schritt 7.3.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{2}$ .

$6 + \frac{- 3}{2} \cdot 4^{\frac{1}{3}}$

Schritt 7.3.2

Kombiniere $\frac{- 3}{2}$ und $4^{\frac{1}{3}}$ .

$6 + \frac{- 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{2}$

Schritt 7.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$6 - \frac{3 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{2}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$6 - \frac{3 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{2}$

Dezimalform:

$3.61889842 \dots$

Schritt 9