Analysis Beispiele

$\int_{0}^{20} | x - 10 | d x$

Schritt 1

Teile das Integral auf in Abhängigkeit davon, ob $x - 10$ positiv oder negativ ist.

$\int_{0}^{10} - x + 10 d x + \int_{10}^{20} x - 10 d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{10} - x d x + \int_{0}^{10} 10 d x + \int_{10}^{20} x - 10 d x$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{0}^{10} x d x + \int_{0}^{10} 10 d x + \int_{10}^{20} x - 10 d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{10}) + \int_{0}^{10} 10 d x + \int_{10}^{20} x - 10 d x$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{10}) + \int_{0}^{10} 10 d x + \int_{10}^{20} x - 10 d x$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{10}) + 10 x]_{0}^{10} + \int_{10}^{20} x - 10 d x$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{10}) + 10 x]_{0}^{10} + \int_{10}^{20} x d x + \int_{10}^{20} - 10 d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{10}) + 10 x]_{0}^{10} + \frac{1}{2} x^{2}]_{10}^{20} + \int_{10}^{20} - 10 d x$

Schritt 9

Wende die Konstantenregel an.

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{10}) + 10 x]_{0}^{10} + \frac{1}{2} x^{2}]_{10}^{20} + - 10 x]_{10}^{20}$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Kombiniere $\frac{1}{2} x^{2}]_{10}^{20}$ und $- 10 x]_{10}^{20}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{10}) + 10 x]_{0}^{10} + \frac{1}{2} x^{2} - 10 x]_{10}^{20}$

Schritt 10.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $10$ und $0$ .

$- ((\frac{10^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 10 x]_{0}^{10} + \frac{1}{2} x^{2} - 10 x]_{10}^{20}$

Schritt 10.2.2

Berechne $10 x$ bei $10$ und $0$ .

$- (\frac{10^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + \frac{1}{2} x^{2} - 10 x]_{10}^{20}$

Schritt 10.2.3

Berechne $\frac{1}{2} x^{2} - 10 x$ bei $20$ und $10$ .

$- (\frac{10^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Schritt 10.2.4

Vereinfache.

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Schritt 10.2.4.1

Potenziere $10$ mit $2$ .

$- (\frac{100}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Schritt 10.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $100$ und $2$ .

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Schritt 10.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $100$ heraus.

$- (\frac{2 \cdot 50}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Schritt 10.2.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.4.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- (\frac{2 \cdot 50}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Schritt 10.2.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- (\frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Schritt 10.2.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- (\frac{50}{1} - \frac{0^{2}}{2}) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Schritt 10.2.4.2.2.4

Dividiere $50$ durch $1$ .

$- (50 - \frac{0^{2}}{2}) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Schritt 10.2.4.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- (50 - \frac{0}{2}) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Schritt 10.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 10.2.4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$- (50 - \frac{2 (0)}{2}) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Schritt 10.2.4.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.4.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- (50 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Schritt 10.2.4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- (50 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Schritt 10.2.4.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- (50 - \frac{0}{1}) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Schritt 10.2.4.4.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- (50 - 0) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Schritt 10.2.4.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- (50 + 0) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Schritt 10.2.4.6

Addiere $50$ und $0$ .

$- 1 \cdot 50 + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Schritt 10.2.4.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $50$ .

$- 50 + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Schritt 10.2.4.8

Mutltipliziere $10$ mit $10$ .

$- 50 + 100 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Schritt 10.2.4.9

Mutltipliziere $- 10$ mit $0$ .

$- 50 + 100 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Schritt 10.2.4.10

Addiere $100$ und $0$ .

$- 50 + 100 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Schritt 10.2.4.11

Addiere $- 50$ und $100$ .

$50 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Schritt 10.2.4.12

Potenziere $20$ mit $2$ .

$50 + \frac{1}{2} \cdot 400 - 10 \cdot 20 - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Schritt 10.2.4.13

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $400$ .

$50 + \frac{400}{2} - 10 \cdot 20 - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Schritt 10.2.4.14

Kürze den gemeinsamen Teiler von $400$ und $2$ .

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Schritt 10.2.4.14.1

Faktorisiere $2$ aus $400$ heraus.

$50 + \frac{2 \cdot 200}{2} - 10 \cdot 20 - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Schritt 10.2.4.14.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.4.14.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$50 + \frac{2 \cdot 200}{2 (1)} - 10 \cdot 20 - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Schritt 10.2.4.14.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$50 + \frac{2 \cdot 200}{2 \cdot 1} - 10 \cdot 20 - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Schritt 10.2.4.14.2.3

Forme den Ausdruck um.

$50 + \frac{200}{1} - 10 \cdot 20 - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Schritt 10.2.4.14.2.4

Dividiere $200$ durch $1$ .

$50 + 200 - 10 \cdot 20 - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Schritt 10.2.4.15

Mutltipliziere $- 10$ mit $20$ .

$50 + 200 - 200 - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Schritt 10.2.4.16

Subtrahiere $200$ von $200$ .

$50 + 0 - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Schritt 10.2.4.17

Potenziere $10$ mit $2$ .

$50 + 0 - (\frac{1}{2} \cdot 100 - 10 \cdot 10)$

Schritt 10.2.4.18

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $100$ .

$50 + 0 - (\frac{100}{2} - 10 \cdot 10)$

Schritt 10.2.4.19

Kürze den gemeinsamen Teiler von $100$ und $2$ .

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Schritt 10.2.4.19.1

Faktorisiere $2$ aus $100$ heraus.

$50 + 0 - (\frac{2 \cdot 50}{2} - 10 \cdot 10)$

Schritt 10.2.4.19.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.4.19.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$50 + 0 - (\frac{2 \cdot 50}{2 (1)} - 10 \cdot 10)$

Schritt 10.2.4.19.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$50 + 0 - (\frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 1} - 10 \cdot 10)$

Schritt 10.2.4.19.2.3

Forme den Ausdruck um.

$50 + 0 - (\frac{50}{1} - 10 \cdot 10)$

Schritt 10.2.4.19.2.4

Dividiere $50$ durch $1$ .

$50 + 0 - (50 - 10 \cdot 10)$

Schritt 10.2.4.20

Mutltipliziere $- 10$ mit $10$ .

$50 + 0 - (50 - 100)$

Schritt 10.2.4.21

Subtrahiere $100$ von $50$ .

$50 + 0 - - 50$

Schritt 10.2.4.22

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 50$ .

$50 + 0 + 50$

Schritt 10.2.4.23

Addiere $0$ und $50$ .

$50 + 50$

Schritt 10.2.4.24

Addiere $50$ und $50$ .

$100$

Schritt 11