Analysis Beispiele

$\int_{0}^{2} 18 {(3 x + 1)}^{5} d x$

Schritt 1

Da $18$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $18$ aus dem Integral.

$18 \int_{0}^{2} {(3 x + 1)}^{5} d x$

Schritt 2

Sei $u = 3 x + 1$ . Dann ist $d u = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 3 x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $3 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 + 0$

Schritt 2.1.4.2

Addiere $3$ und $0$ .

$3$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 3 x + 1$ ein.

$u_{lower} = 3 \cdot 0 + 1$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Schritt 2.3.2

Addiere $0$ und $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 3 x + 1$ ein.

$u_{upper} = 3 \cdot 2 + 1$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$u_{upper} = 6 + 1$

Schritt 2.5.2

Addiere $6$ und $1$ .

$u_{upper} = 7$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 7$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$18 \int_{1}^{7} u^{5} \frac{1}{3} d u$

Schritt 3

Kombiniere $u^{5}$ und $\frac{1}{3}$ .

$18 \int_{1}^{7} \frac{u^{5}}{3} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$18 (\frac{1}{3} \int_{1}^{7} u^{5} d u)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $18$ .

$\frac{18}{3} \int_{1}^{7} u^{5} d u$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18$ und $3$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $18$ heraus.

$\frac{3 \cdot 6}{3} \int_{1}^{7} u^{5} d u$

Schritt 5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot 6}{3 (1)} \int_{1}^{7} u^{5} d u$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 6}{3 \cdot 1} \int_{1}^{7} u^{5} d u$

Schritt 5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6}{1} \int_{1}^{7} u^{5} d u$

Schritt 5.2.2.4

Dividiere $6$ durch $1$ .

$6 \int_{1}^{7} u^{5} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{5}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$6 (\frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{7})$

Schritt 7

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $u^{6}$ .

$6 (\frac{u^{6}}{6}]_{1}^{7})$

Schritt 8

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.1

Berechne $\frac{u^{6}}{6}$ bei $7$ und $1$ .

$6 ((\frac{7^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6})$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Potenziere $7$ mit $6$ .

$6 (\frac{117649}{6} - \frac{1^{6}}{6})$

Schritt 8.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$6 (\frac{117649}{6} - \frac{1}{6})$

Schritt 8.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$6 \frac{117649 - 1}{6}$

Schritt 8.2.4

Subtrahiere $1$ von $117649$ .

$6 (\frac{117648}{6})$

Schritt 8.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $117648$ und $6$ .

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Schritt 8.2.5.1

Faktorisiere $6$ aus $117648$ heraus.

$6 \frac{6 \cdot 19608}{6}$

Schritt 8.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.5.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$6 \frac{6 \cdot 19608}{6 (1)}$

Schritt 8.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 \frac{6 \cdot 19608}{6 \cdot 1}$

Schritt 8.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$6 (\frac{19608}{1})$

Schritt 8.2.5.2.4

Dividiere $19608$ durch $1$ .

$6 \cdot 19608$

Schritt 8.2.6

Mutltipliziere $6$ mit $19608$ .

$117648$

Schritt 9