Analysis Beispiele

$\int_{7}^{11} \frac{1}{\sqrt{x}} - 10 d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{7}^{11} \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int_{7}^{11} - 10 d x$

Schritt 2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{7}^{11} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int_{7}^{11} - 10 d x$

Schritt 2.2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int_{7}^{11} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int_{7}^{11} - 10 d x$

Schritt 2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{7}^{11} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int_{7}^{11} - 10 d x$

Schritt 2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int_{7}^{11} x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int_{7}^{11} - 10 d x$

Schritt 2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{7}^{11} x^{- \frac{1}{2}} d x + \int_{7}^{11} - 10 d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}}]_{7}^{11} + \int_{7}^{11} - 10 d x$

Schritt 4

Wende die Konstantenregel an.

$2 x^{\frac{1}{2}}]_{7}^{11} + - 10 x]_{7}^{11}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Kombiniere $2 x^{\frac{1}{2}}]_{7}^{11}$ und $- 10 x]_{7}^{11}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} - 10 x]_{7}^{11}$

Schritt 5.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Berechne $2 x^{\frac{1}{2}} - 10 x$ bei $11$ und $7$ .

$(2 \cdot 11^{\frac{1}{2}} - 10 \cdot 11) - (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 10 \cdot 7)$

Schritt 5.2.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Mutltipliziere $- 10$ mit $11$ .

$2 \cdot 11^{\frac{1}{2}} - 110 - (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 10 \cdot 7)$

Schritt 5.2.2.2

Mutltipliziere $- 10$ mit $7$ .

$2 \cdot 11^{\frac{1}{2}} - 110 - (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 70)$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cdot 11^{\frac{1}{2}} - 110 - (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - - 70$

Schritt 5.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 \cdot 11^{\frac{1}{2}} - 110 - 2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} - - 70$

Schritt 5.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 70$ .

$2 \cdot 11^{\frac{1}{2}} - 110 - 2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} + 70$

Schritt 5.3.2

Addiere $- 110$ und $70$ .

$2 \cdot 11^{\frac{1}{2}} - 40 - 2 \cdot 7^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$2 \cdot 11^{\frac{1}{2}} - 40 - 2 \cdot 7^{\frac{1}{2}}$

Dezimalform:

$- 38.65825304 \dots$

Schritt 7