Analysis Beispiele

$\int_{- 1}^{0} y {(2 y^{2} - 3)}^{5} d y$

Schritt 1

Sei $u = 2 y^{2} - 3$ . Dann ist $d u = 4 y d y$ , folglich $\frac{1}{4} d u = y d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 2 y^{2} - 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $2 y^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d y} [2 y^{2} - 3]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 y^{2} - 3$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 y^{2}$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (2 y) + \frac{d}{d y} [- 3]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 y + \frac{d}{d y} [- 3]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$4 y + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $4 y$ und $0$ .

$4 y$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $y$ in $u = 2 y^{2} - 3$ ein.

$u_{lower} = 2 {(- 1)}^{2} - 3$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 1 - 3$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u_{lower} = 2 - 3$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$u_{lower} = - 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $y$ in $u = 2 y^{2} - 3$ ein.

$u_{upper} = 2 \cdot 0^{2} - 3$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 0 - 3$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{upper} = 0 - 3$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$u_{upper} = - 3$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - 3$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{- 1}^{- 3} u^{5} \frac{1}{4} d u$

Schritt 2

Kombiniere $u^{5}$ und $\frac{1}{4}$ .

$\int_{- 1}^{- 3} \frac{u^{5}}{4} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int_{- 1}^{- 3} u^{5} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{5}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{- 1}^{- 3}$

Schritt 5

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.1

Berechne $\frac{1}{6} u^{6}$ bei $- 3$ und $- 1$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{6} {(- 3)}^{6}) - \frac{1}{6} {(- 1)}^{6})$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Potenziere $- 3$ mit $6$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 729 - \frac{1}{6} {(- 1)}^{6})$

Schritt 5.2.2

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $729$ .

$\frac{1}{4} (\frac{729}{6} - \frac{1}{6} {(- 1)}^{6})$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $729$ und $6$ .

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Schritt 5.2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $729$ heraus.

$\frac{1}{4} (\frac{3 (243)}{6} - \frac{1}{6} {(- 1)}^{6})$

Schritt 5.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6} {(- 1)}^{6})$

Schritt 5.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6} {(- 1)}^{6})$

Schritt 5.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6} {(- 1)}^{6})$

Schritt 5.2.4

Potenziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{1}{4} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6} \cdot 1)$

Schritt 5.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6})$

Schritt 5.2.6

Um $\frac{243}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{243}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{6})$

Schritt 5.2.7

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.2.7.1

Mutltipliziere $\frac{243}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{243 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6})$

Schritt 5.2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{243 \cdot 3}{6} - \frac{1}{6})$

Schritt 5.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{243 \cdot 3 - 1}{6}$

Schritt 5.2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.9.1

Mutltipliziere $243$ mit $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{729 - 1}{6}$

Schritt 5.2.9.2

Subtrahiere $1$ von $729$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{728}{6}$

Schritt 5.2.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $728$ und $6$ .

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Schritt 5.2.10.1

Faktorisiere $2$ aus $728$ heraus.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 (364)}{6}$

Schritt 5.2.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.10.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 \cdot 364}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.2.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 \cdot 364}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.2.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{364}{3}$

Schritt 5.2.11

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{364}{3}$ .

$\frac{364}{4 \cdot 3}$

Schritt 5.2.12

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{364}{12}$

Schritt 5.2.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $364$ und $12$ .

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Schritt 5.2.13.1

Faktorisiere $4$ aus $364$ heraus.

$\frac{4 (91)}{12}$

Schritt 5.2.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.13.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{4 \cdot 91}{4 \cdot 3}$

Schritt 5.2.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 91}{4 \cdot 3}$

Schritt 5.2.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{91}{3}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{91}{3}$

Dezimalform:

$30.\overline{3}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$30 \frac{1}{3}$

Schritt 7