Analysis Beispiele

$\int_{- 0.5}^{0.5} 4 \cos (π x) - (12 x^{2} - 3) d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 0.5}^{0.5} 4 \cos (π x) d x + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

Schritt 2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int_{- 0.5}^{0.5} \cos (π x) d x + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

Schritt 3

Sei $u = π x$ . Dann ist $d u = π d x$ , folglich $\frac{1}{π} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = π x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Schritt 3.1.2

Da $π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $π x$ nach $x$ gleich $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$π$

Schritt 3.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = π x$ ein.

$u_{lower} = π \cdot - 0.5$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $π$ mit $- 0.5$ .

$u_{lower} = - 1.57079632$

Schritt 3.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = π x$ ein.

$u_{upper} = π \cdot 0.5$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $π$ mit $0.5$ .

$u_{upper} = 1.57079632$

Schritt 3.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - 1.57079632$

$u_{upper} = 1.57079632$

Schritt 3.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$4 \int_{- 1.57079632}^{1.57079632} \cos (u) \frac{1}{π} d u + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

Schritt 4

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{π}$ .

$4 \int_{- 1.57079632}^{1.57079632} \frac{\cos (u)}{π} d u + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

Schritt 5

Da $\frac{1}{π}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{π}$ aus dem Integral.

$4 (\frac{1}{π} \int_{- 1.57079632}^{1.57079632} \cos (u) d u) + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

Schritt 6

Kombiniere $\frac{1}{π}$ und $4$ .

$\frac{4}{π} \int_{- 1.57079632}^{1.57079632} \cos (u) d u + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

Schritt 7

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

Schritt 8

Multipliziere $- (12 x^{2} - 3)$ .

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2}) - - 3 d x$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $12$ mit $- 1$ .

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - 12 x^{2} - - 3 d x$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - 12 x^{2} + 3 d x$

Schritt 10

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - 12 x^{2} d x + \int_{- 0.5}^{0.5} 3 d x$

Schritt 11

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 12$ aus dem Integral.

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} - 12 \int_{- 0.5}^{0.5} x^{2} d x + \int_{- 0.5}^{0.5} 3 d x$

Schritt 12

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} - 12 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 0.5}^{0.5}) + \int_{- 0.5}^{0.5} 3 d x$

Schritt 13

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.5}^{0.5}) + \int_{- 0.5}^{0.5} 3 d x$

Schritt 14

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.5}^{0.5}) + 3 x]_{- 0.5}^{0.5}$

Schritt 15

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 15.1

Berechne $\sin (u)$ bei $1.57079632$ und $- 1.57079632$ .

$\frac{4}{π} ((\sin (1.57079632)) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.5}^{0.5}) + 3 x]_{- 0.5}^{0.5}$

Schritt 15.2

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $0.5$ und $- 0.5$ .

$\frac{4}{π} ((\sin (1.57079632)) - \sin (- 1.57079632)) - 12 ((\frac{{0.5}^{3}}{3}) - \frac{{(- 0.5)}^{3}}{3}) + 3 x]_{- 0.5}^{0.5}$

Schritt 15.3

Berechne $3 x$ bei $0.5$ und $- 0.5$ .

$\frac{4}{π} ((\sin (1.57079632)) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{{0.5}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.5)}^{3}}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Schritt 15.4

Vereinfache.

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Schritt 15.4.1

Potenziere $0.5$ mit $3$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} - \frac{{(- 0.5)}^{3}}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Schritt 15.4.2

Potenziere $- 0.5$ mit $3$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} - \frac{- 0.125}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Schritt 15.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} - - \frac{0.125}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Schritt 15.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} + 1 (\frac{0.125}{3})) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Schritt 15.4.5

Mutltipliziere $\frac{0.125}{3}$ mit $1$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} + \frac{0.125}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Schritt 15.4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 \frac{0.125 + 0.125}{3} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Schritt 15.4.7

Addiere $0.125$ und $0.125$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.25}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Schritt 15.4.8

Kombiniere $- 12$ und $\frac{0.25}{3}$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{- 12 \cdot 0.25}{3} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Schritt 15.4.9

Mutltipliziere $- 12$ mit $0.25$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{- 3}{3} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Schritt 15.4.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $3$ .

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Schritt 15.4.10.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{3 \cdot - 1}{3} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Schritt 15.4.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.4.10.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Schritt 15.4.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Schritt 15.4.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{- 1}{1} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Schritt 15.4.10.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 1 + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Schritt 15.4.11

Mutltipliziere $3$ mit $0.5$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 1 + 1.5 - 3 \cdot - 0.5$

Schritt 15.4.12

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 0.5$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 1 + 1.5 + 1.5$

Schritt 15.4.13

Addiere $1.5$ und $1.5$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 1 + 3$

Schritt 15.4.14

Addiere $- 1$ und $3$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + 2$

Schritt 16

Vereinfache.

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Schritt 16.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 16.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4}{π} \sin (1.57079632) + \frac{4}{π} (- \sin (- 1.57079632)) + 2$

Schritt 16.1.2

Kombiniere $\frac{4}{π}$ und $\sin (1.57079632)$ .

$\frac{4 \sin (1.57079632)}{π} + \frac{4}{π} (- \sin (- 1.57079632)) + 2$

Schritt 16.1.3

Kombiniere $\frac{4}{π}$ und $\sin (- 1.57079632)$ .

$\frac{4 \sin (1.57079632)}{π} - \frac{4 \sin (- 1.57079632)}{π} + 2$

Schritt 16.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 16.1.4.1

Berechne $\sin (1.57079632)$ .

$\frac{4 \cdot 1}{π} - \frac{4 \sin (- 1.57079632)}{π} + 2$

Schritt 16.1.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{4}{π} - \frac{4 \sin (- 1.57079632)}{π} + 2$

Schritt 16.1.4.3

Berechne $\sin (- 1.57079632)$ .

$\frac{4}{π} - \frac{4 \cdot - 1}{π} + 2$

Schritt 16.1.4.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{4}{π} - \frac{- 4}{π} + 2$

Schritt 16.1.4.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{4}{π} - - \frac{4}{π} + 2$

Schritt 16.1.4.6

Multipliziere $- - \frac{4}{π}$ .

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Schritt 16.1.4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{4}{π} + 1 \frac{4}{π} + 2$

Schritt 16.1.4.6.2

Mutltipliziere $\frac{4}{π}$ mit $1$ .

$\frac{4}{π} + \frac{4}{π} + 2$

Schritt 16.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 + 4}{π} + 2$

Schritt 16.1.6

Addiere $4$ und $4$ .

$\frac{8}{π} + 2$

Schritt 16.2

Addiere $\frac{8}{π}$ und $2$ .

$4.54647908$