Analysis Beispiele

$\int_{0.5}^{1} x^{2} \cot (x^{3}) d x$

Schritt 1

Sei $u = x^{3}$ . Dann ist $d u = 3 x^{2} d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x^{3}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x^{3}$ ein.

$u_{lower} = {0.5}^{3}$

Schritt 1.3

Potenziere $0.5$ mit $3$ .

$u_{lower} = 0.125$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x^{3}$ ein.

$u_{upper} = 1^{3}$

Schritt 1.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{upper} = 1$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0.125$

$u_{upper} = 1$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0.125}^{1} \cot (u) \frac{1}{3} d u$

Schritt 2

Kombiniere $\cot (u)$ und $\frac{1}{3}$ .

$\int_{0.125}^{1} \frac{\cot (u)}{3} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int_{0.125}^{1} \cot (u) d u$

Schritt 4

Das Integral von $\cot (u)$ nach $u$ ist $\ln (| \sin (u) |)$ .

$\frac{1}{3} \ln (| \sin (u) |)]_{0.125}^{1}$

Schritt 5

Berechne $\ln (| \sin (u) |)$ bei $1$ und $0.125$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| \sin (1) |) - \ln (| \sin (0.125) |))$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{3} \ln (\frac{| \sin (1) |}{| \sin (0.125) |})$

Schritt 6.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\ln (\frac{| \sin (1) |}{| \sin (0.125) |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| \sin (1) |}{| \sin (0.125) |})}{3}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\ln (\frac{| \sin (1) |}{| \sin (0.125) |})}{3}$

Dezimalform:

$- 0.65541022 \dots$