Analysis Beispiele

$\int_{1}^{e^{4}} \frac{\ln ({(x)}^{3})}{x} d x$

Schritt 1

Schreibe $\frac{\ln (x^{3})}{x}$ als $\frac{3 \ln (x)}{x}$ um.

$\int_{1}^{e^{4}} \frac{3 \ln (x)}{x} d x$

Schritt 2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int_{1}^{e^{4}} \frac{\ln (x)}{x} d x$

Schritt 3

Sei $u = \ln (x)$ . Dann ist $d u = \frac{1}{x} d x$ , folglich $x d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = \ln (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 3.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \ln (x)$ ein.

$u_{lower} = \ln (1)$

Schritt 3.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 3.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \ln (x)$ ein.

$u_{upper} = \ln (e^{4})$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $4$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$u_{upper} = 4 \ln (e)$

Schritt 3.5.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 1$

Schritt 3.5.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$u_{upper} = 4$

Schritt 3.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4$

Schritt 3.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$3 \int_{0}^{4} u d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{4})$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $u^{2}$ .

$3 (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Schritt 6

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.1

Berechne $\frac{u^{2}}{2}$ bei $4$ und $0$ .

$3 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$3 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $2$ .

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Schritt 6.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.2.2.2.4

Dividiere $8$ durch $1$ .

$3 (8 - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.2.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$3 (8 - \frac{0}{2})$

Schritt 6.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 6.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$3 (8 - \frac{2 (0)}{2})$

Schritt 6.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$3 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Schritt 6.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Schritt 6.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 (8 - \frac{0}{1})$

Schritt 6.2.4.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$3 (8 - 0)$

Schritt 6.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$3 (8 + 0)$

Schritt 6.2.6

Addiere $8$ und $0$ .

$3 \cdot 8$

Schritt 6.2.7

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$24$