Analysis Beispiele

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{\ln (x)}{x} d x$

Schritt 1

Sei $u = \ln (x)$ . Dann ist $d u = \frac{1}{x} d x$ , folglich $x d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = \ln (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \ln (x)$ ein.

$u_{lower} = \ln (1)$

Schritt 1.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \ln (x)$ ein.

$u_{upper} = \ln (e^{2})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $2$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$u_{upper} = 2 \ln (e)$

Schritt 1.5.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1$

Schritt 1.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u_{upper} = 2$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{2} u d u$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{2}$

Schritt 3

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.1

Berechne $\frac{1}{2} u^{2}$ bei $2$ und $0$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 4 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$\frac{4}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 3.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 3.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 3.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 3.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 3.2.3.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 3.2.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$2 - \frac{1}{2} \cdot 0$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$2 + 0 (\frac{1}{2})$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{2}$ .

$2 + 0$

Schritt 3.2.7

Addiere $2$ und $0$ .

$2$