Analysis Beispiele

$\int_{0}^{π} 1 - x \cos (x) d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{π} d x + \int_{0}^{π} - x \cos (x) d x$

Schritt 2

Wende die Konstantenregel an.

$x]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} - x \cos (x) d x$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$x]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} x \cos (x) d x$

Schritt 4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \cos (x)$ .

$x]_{0}^{π} - (x \sin (x)]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \sin (x) d x)$

Schritt 5

Das Integral von $\sin (x)$ nach $x$ ist $- \cos (x)$ .

$x]_{0}^{π} - (x \sin (x)]_{0}^{π} - (- \cos (x)]_{0}^{π}))$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Berechne $x$ bei $π$ und $0$ .

$(π) + 0 - (x \sin (x)]_{0}^{π} - (- \cos (x)]_{0}^{π}))$

Schritt 6.1.2

Berechne $x \sin (x)$ bei $π$ und $0$ .

$(π) + 0 - ((π \sin (π)) + 0 \sin (0) - (- \cos (x)]_{0}^{π}))$

Schritt 6.1.3

Berechne $- \cos (x)$ bei $π$ und $0$ .

$π + 0 - ((π \sin (π)) + 0 \sin (0) - (- \cos (π) + \cos (0)))$

Schritt 6.1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.4.1

Addiere $π$ und $0$ .

$π - ((π \sin (π)) + 0 \sin (0) - (- \cos (π) + \cos (0)))$

Schritt 6.1.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $\sin (0)$ .

$π - (π \sin (π) + 0 - (- \cos (π) + \cos (0)))$

Schritt 6.1.4.3

Addiere $π \sin (π)$ und $0$ .

$π - (π \sin (π) - (- \cos (π) + \cos (0)))$

Schritt 6.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$π - (π \sin (π) - (- \cos (π) + 1))$

Schritt 6.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$π - (π \sin (0) - (- \cos (π) + 1))$

Schritt 6.3.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$π - (π \cdot 0 - (- \cos (π) + 1))$

Schritt 6.3.3

Mutltipliziere $π$ mit $0$ .

$π - (0 - (- \cos (π) + 1))$

Schritt 6.3.4

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$π - (0 - (- - \cos (0) + 1))$

Schritt 6.3.5

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$π - (0 - (- (- 1 \cdot 1) + 1))$

Schritt 6.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$π - (0 - (- - 1 + 1))$

Schritt 6.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$π - (0 - (1 + 1))$

Schritt 6.3.8

Addiere $1$ und $1$ .

$π - (0 - 1 \cdot 2)$

Schritt 6.3.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$π - (0 - 2)$

Schritt 6.3.10

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$π - - 2$

Schritt 6.3.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$π + 2$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$π + 2$

Dezimalform:

$5.14159265 \dots$