Analysis Beispiele

$\int_{0}^{π} 2 \cos (2 x) d x$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{0}^{π} \cos (2 x) d x$

Schritt 2

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{upper} = 2 π$

Schritt 2.5

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

Schritt 2.6

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$2 \int_{0}^{2 π} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Schritt 3

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$2 \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u)}{2} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u$

Schritt 5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $\int_{0}^{2 π} \cos (u) d u$ mit $1$ .

$\int_{0}^{2 π} \cos (u) d u$

Schritt 6

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$\sin (u)]_{0}^{2 π}$

Schritt 7

Berechne $\sin (u)$ bei $2 π$ und $0$ .

$\sin (2 π) - \sin (0)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\sin (2 π) - 0$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\sin (2 π) + 0$

Schritt 8.3

Addiere $\sin (2 π)$ und $0$ .

$\sin (2 π)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\sin (0)$

Schritt 9.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$0$