Analysis Beispiele

$\ln (x^{4} + 27)$

Schritt 1

Schreibe $\ln (x^{4} + 27)$ als Funktion.

$f (x) = \ln (x^{4} + 27)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{4} + 27$ .

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Schritt 2.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{4} + 27$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

Schritt 2.1.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

Schritt 2.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{4} + 27$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + 27$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27])$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [27])$

Schritt 2.1.2.3

Da $27$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $27$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3} + 0)$

Schritt 2.1.2.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.1.2.4.1

Addiere $4 x^{3}$ und $0$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3})$

Schritt 2.1.2.4.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{x^{4} + 27}$ .

$\frac{4}{x^{4} + 27} x^{3}$

Schritt 2.1.2.4.3

Kombiniere $\frac{4}{x^{4} + 27}$ und $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 27}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 27}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x^{4} + 27$ .

$4 \frac{(x^{4} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.2.3

Differenziere.

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Schritt 2.2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 \frac{(x^{4} + 27) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.2.3.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{4} + 27$ .

$4 \frac{3 \cdot (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.2.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + 27$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27])}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [27])}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.2.3.5

Da $27$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $27$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.2.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.3.6.1

Addiere $4 x^{3}$ und $0$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.2.3.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3} x^{3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.2.4

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.4.1

Bewege $x^{3}$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 (x^{3} x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.2.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3 + 3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.2.4.3

Addiere $3$ und $3$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.2.5

Kombiniere $4$ und $\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$ .

$\frac{4 (3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 ((3 x^{4} + 3 \cdot 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.2.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (3 x^{4} x^{2} + 3 \cdot 27 x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.2.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (3 x^{4} x^{2}) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.2.6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.6.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.6.4.1.1

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.6.4.1.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{4 (3 (x^{2} x^{4})) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.2.6.4.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 (3 x^{2 + 4}) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.2.6.4.1.1.3

Addiere $2$ und $4$ .

$\frac{4 (3 x^{6}) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.2.6.4.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{12 x^{6} + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.2.6.4.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $27$ .

$\frac{12 x^{6} + 4 (81 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.2.6.4.1.4

Mutltipliziere $81$ mit $4$ .

$\frac{12 x^{6} + 324 x^{2} + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.2.6.4.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$\frac{12 x^{6} + 324 x^{2} - 16 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.2.6.4.2

Subtrahiere $16 x^{6}$ von $12 x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}} = 0$

Schritt 3.2

Setze den Zähler gleich Null.

$- 4 x^{6} + 324 x^{2} = 0$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $- 4 x^{2}$ aus $- 4 x^{6} + 324 x^{2}$ heraus.

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Schritt 3.3.1.1.1

Faktorisiere $- 4 x^{2}$ aus $- 4 x^{6}$ heraus.

$- 4 x^{2} x^{4} + 324 x^{2} = 0$

Schritt 3.3.1.1.2

Faktorisiere $- 4 x^{2}$ aus $324 x^{2}$ heraus.

$- 4 x^{2} x^{4} - 4 x^{2} \cdot - 81 = 0$

Schritt 3.3.1.1.3

Faktorisiere $- 4 x^{2}$ aus $- 4 x^{2} (x^{4}) - 4 x^{2} (- 81)$ heraus.

$- 4 x^{2} (x^{4} - 81) = 0$

Schritt 3.3.1.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- 4 x^{2} ({(x^{2})}^{2} - 81) = 0$

Schritt 3.3.1.3

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$- 4 x^{2} ({(x^{2})}^{2} - 9^{2}) = 0$

Schritt 3.3.1.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{2}$ und $b = 9$ .

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) (x^{2} - 9)) = 0$

Schritt 3.3.1.5

Faktorisiere.

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Schritt 3.3.1.5.1

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1.5.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2})) = 0$

Schritt 3.3.1.5.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 3.3.1.5.1.2.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) ((x + 3) (x - 3))) = 0$

Schritt 3.3.1.5.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)) = 0$

Schritt 3.3.1.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 4 x^{2} (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$

Schritt 3.3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 3.3.3

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 3.3.3.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 3.3.3.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 3.3.3.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 3.3.3.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 3.3.3.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.3.4

Setze $x^{2} + 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.4.1

Setze $x^{2} + 9$ gleich $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Schritt 3.3.4.2

Löse $x^{2} + 9 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.4.2.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 9$

Schritt 3.3.4.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Schritt 3.3.4.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 9}$ .

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Schritt 3.3.4.2.3.1

Schreibe $- 9$ als $- 1 (9)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Schritt 3.3.4.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (9)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Schritt 3.3.4.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Schritt 3.3.4.2.3.4

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Schritt 3.3.4.2.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \cdot 3$

Schritt 3.3.4.2.3.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 3 i$

Schritt 3.3.4.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.3.4.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3 i$

Schritt 3.3.4.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3 i$

Schritt 3.3.4.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3 i, - 3 i$

Schritt 3.3.5

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.5.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 3.3.5.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 3.3.6

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.6.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 3.3.6.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 3.3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 4 x^{2} (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 3 i, - 3 i, - 3, 3$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 4.1

Ersetze $0$ in $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \ln ({(0)}^{4} + 27)$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = \ln (0 + 27)$

Schritt 4.1.2.2

Addiere $0$ und $27$ .

$f (0) = \ln (27)$

Schritt 4.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $\ln (27)$ .

$\ln (27)$

Schritt 4.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0$ in $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ ermittelt werden kann, ist $(0, \ln (27))$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0, \ln (27))$

Schritt 4.3

Ersetze $- 3$ in $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f (- 3) = \ln ({(- 3)}^{4} + 27)$

Schritt 4.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.3.2.1

Potenziere $- 3$ mit $4$ .

$f (- 3) = \ln (81 + 27)$

Schritt 4.3.2.2

Addiere $81$ und $27$ .

$f (- 3) = \ln (108)$

Schritt 4.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $\ln (108)$ .

$\ln (108)$

Schritt 4.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 3$ in $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ ermittelt werden kann, ist $(- 3, \ln (108))$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 3, \ln (108))$

Schritt 4.5

Ersetze $3$ in $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = \ln ({(3)}^{4} + 27)$

Schritt 4.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.5.2.1

Potenziere $3$ mit $4$ .

$f (3) = \ln (81 + 27)$

Schritt 4.5.2.2

Addiere $81$ und $27$ .

$f (3) = \ln (108)$

Schritt 4.5.2.3

Die endgültige Lösung ist $\ln (108)$ .

$\ln (108)$

Schritt 4.6

Der Punkt, der durch Einsetzen von $3$ in $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ ermittelt werden kann, ist $(3, \ln (108))$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(3, \ln (108))$

Schritt 4.7

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(0, \ln (27)), (- 3, \ln (108)), (3, \ln (108))$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 3)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3.1$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 4 {(- 3.1)}^{6} + 324 {(- 3.1)}^{2}}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 3.1$ mit $6$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 4 \cdot 887.503681 + 324 {(- 3.1)}^{2}}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $887.503681$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 3550.014724 + 324 {(- 3.1)}^{2}}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.3

Potenziere $- 3.1$ mit $2$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 3550.014724 + 324 \cdot 9.61}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $324$ mit $9.61$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 3550.014724 + 3113.64}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.5

Addiere $- 3550.014724$ und $3113.64$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 436.374724}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Potenziere $- 3.1$ mit $4$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 436.374724}{{(92.3521 + 27)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $92.3521$ und $27$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 436.374724}{{119.3521}^{2}}$

Schritt 6.2.2.3

Potenziere $119.3521$ mit $2$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 436.374724}{14244.92377441}$

Schritt 6.2.3

Dividiere $- 436.374724$ durch $14244.92377441$ .

$f'' (- 3.1) = - 0.0306337$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 0.0306337$ .

$- 0.0306337$

Schritt 6.3

Bei $- 3.1$ , die zweite Ableitung ist $- 0.0306337$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, - 3)$

Abfallend im Intervall $(- \infty, - 3)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 3, 0)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 {(- \frac{3}{2})}^{6} + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 7.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3}{2}$ an.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{6} {(\frac{3}{2})}^{6}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{6} (\frac{3^{6}}{2^{6}})) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $6$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 (1 (\frac{3^{6}}{2^{6}})) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{3^{6}}{2^{6}}$ mit $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 \frac{3^{6}}{2^{6}} + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.4

Potenziere $3$ mit $6$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 \frac{729}{2^{6}} + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.5

Potenziere $2$ mit $6$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 (\frac{729}{64}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.2.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{4 (- 1) (\frac{729}{64}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.6.2

Faktorisiere $4$ aus $64$ heraus.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{4 \cdot (- 1 \frac{729}{4 \cdot 16}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{4 \cdot (- 1 \frac{729}{4 \cdot 16}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.6.4

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 1 (\frac{729}{16}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.7

Schreibe $- 1 (\frac{729}{16})$ als $- (\frac{729}{16})$ um.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- (\frac{729}{16}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.8

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 7.2.1.8.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3}{2}$ an.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2})}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.8.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}}))}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.9

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}}))}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.10

Mutltipliziere $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{3^{2}}{2^{2}})}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.11

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{9}{2^{2}})}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.12

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{9}{4})}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.2.1.13.1

Faktorisiere $4$ aus $324$ heraus.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 4 (81) (\frac{9}{4})}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 4 \cdot (81 (\frac{9}{4}))}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.13.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 81 \cdot 9}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.14

Mutltipliziere $81$ mit $9$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 729}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.15

Um $729$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{16}{16}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 729 \cdot \frac{16}{16}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.16

Kombiniere $729$ und $\frac{16}{16}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + \frac{729 \cdot 16}{16}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.17

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{- 729 + 729 \cdot 16}{16}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.18

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.1.18.1

Mutltipliziere $729$ mit $16$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{- 729 + 11664}{16}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.18.2

Addiere $- 729$ und $11664$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 7.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3}{2}$ an.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{({(- 1)}^{4} {(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{({(- 1)}^{4} (\frac{3^{4}}{2^{4}}) + 27)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.2

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(1 (\frac{3^{4}}{2^{4}}) + 27)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{3^{4}}{2^{4}}$ mit $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{3^{4}}{2^{4}} + 27)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.4

Potenziere $3$ mit $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{2^{4}} + 27)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.5

Potenziere $2$ mit $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + 27)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.6

Um $27$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{16}{16}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + 27 \cdot \frac{16}{16})}^{2}}$

Schritt 7.2.2.7

Kombiniere $27$ und $\frac{16}{16}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + \frac{27 \cdot 16}{16})}^{2}}$

Schritt 7.2.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81 + 27 \cdot 16}{16})}^{2}}$

Schritt 7.2.2.9

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.9.1

Mutltipliziere $27$ mit $16$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81 + 432}{16})}^{2}}$

Schritt 7.2.2.9.2

Addiere $81$ und $432$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{513}{16})}^{2}}$

Schritt 7.2.2.10

Wende die Produktregel auf $\frac{513}{16}$ an.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{513^{2}}{16^{2}}}$

Schritt 7.2.2.11

Potenziere $513$ mit $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{263169}{16^{2}}}$

Schritt 7.2.2.12

Potenziere $16$ mit $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{263169}{256}}$

Schritt 7.2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{10935}{16} \cdot \frac{256}{263169}$

Schritt 7.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $729$ .

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Schritt 7.2.4.1

Faktorisiere $729$ aus $10935$ heraus.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{729 (15)}{16} \cdot \frac{256}{263169}$

Schritt 7.2.4.2

Faktorisiere $729$ aus $263169$ heraus.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{729 \cdot 15}{16} \cdot \frac{256}{729 \cdot 361}$

Schritt 7.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{729 \cdot 15}{16} \cdot \frac{256}{729 \cdot 361}$

Schritt 7.2.4.4

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{256}{361}$

Schritt 7.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 7.2.5.1

Faktorisiere $16$ aus $256$ heraus.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{16 (16)}{361}$

Schritt 7.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{16 \cdot 16}{361}$

Schritt 7.2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 15 (\frac{16}{361})$

Schritt 7.2.6

Kombiniere $15$ und $\frac{16}{361}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{15 \cdot 16}{361}$

Schritt 7.2.7

Mutltipliziere $15$ mit $16$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{240}{361}$

Schritt 7.2.8

Die endgültige Lösung ist $\frac{240}{361}$ .

$\frac{240}{361}$

Schritt 7.3

Bei $- \frac{3}{2}$ ist die zweite Ableitung $0.66481994$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- 3, 0)$ .

Ansteigend im Intervall $(- 3, 0)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, 3)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{3}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 4 {(\frac{3}{2})}^{6} + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 4 \frac{3^{6}}{2^{6}} + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.2

Potenziere $3$ mit $6$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 4 \frac{729}{2^{6}} + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.3

Potenziere $2$ mit $6$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 4 (\frac{729}{64}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 8.2.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{4 (- 1) (\frac{729}{64}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.4.2

Faktorisiere $4$ aus $64$ heraus.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{4 \cdot (- 1 \frac{729}{4 \cdot 16}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{4 \cdot (- 1 \frac{729}{4 \cdot 16}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 1 (\frac{729}{16}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.5

Schreibe $- 1 (\frac{729}{16})$ als $- (\frac{729}{16})$ um.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- (\frac{729}{16}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.6

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{3^{2}}{2^{2}})}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.7

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{9}{2^{2}})}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.8

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{9}{4})}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 8.2.1.9.1

Faktorisiere $4$ aus $324$ heraus.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 4 (81) (\frac{9}{4})}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 4 \cdot (81 (\frac{9}{4}))}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.9.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 81 \cdot 9}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.10

Mutltipliziere $81$ mit $9$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 729}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.11

Um $729$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{16}{16}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 729 \cdot \frac{16}{16}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.12

Kombiniere $729$ und $\frac{16}{16}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + \frac{729 \cdot 16}{16}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{- 729 + 729 \cdot 16}{16}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.1.14.1

Mutltipliziere $729$ mit $16$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{- 729 + 11664}{16}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.14.2

Addiere $- 729$ und $11664$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{3^{4}}{2^{4}} + 27)}^{2}}$

Schritt 8.2.2.2

Potenziere $3$ mit $4$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{2^{4}} + 27)}^{2}}$

Schritt 8.2.2.3

Potenziere $2$ mit $4$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + 27)}^{2}}$

Schritt 8.2.2.4

Um $27$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{16}{16}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + 27 \cdot \frac{16}{16})}^{2}}$

Schritt 8.2.2.5

Kombiniere $27$ und $\frac{16}{16}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + \frac{27 \cdot 16}{16})}^{2}}$

Schritt 8.2.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81 + 27 \cdot 16}{16})}^{2}}$

Schritt 8.2.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.2.7.1

Mutltipliziere $27$ mit $16$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81 + 432}{16})}^{2}}$

Schritt 8.2.2.7.2

Addiere $81$ und $432$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{513}{16})}^{2}}$

Schritt 8.2.2.8

Wende die Produktregel auf $\frac{513}{16}$ an.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{513^{2}}{16^{2}}}$

Schritt 8.2.2.9

Potenziere $513$ mit $2$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{263169}{16^{2}}}$

Schritt 8.2.2.10

Potenziere $16$ mit $2$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{263169}{256}}$

Schritt 8.2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{10935}{16} \cdot \frac{256}{263169}$

Schritt 8.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $729$ .

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Schritt 8.2.4.1

Faktorisiere $729$ aus $10935$ heraus.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{729 (15)}{16} \cdot \frac{256}{263169}$

Schritt 8.2.4.2

Faktorisiere $729$ aus $263169$ heraus.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{729 \cdot 15}{16} \cdot \frac{256}{729 \cdot 361}$

Schritt 8.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{729 \cdot 15}{16} \cdot \frac{256}{729 \cdot 361}$

Schritt 8.2.4.4

Forme den Ausdruck um.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{256}{361}$

Schritt 8.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 8.2.5.1

Faktorisiere $16$ aus $256$ heraus.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{16 (16)}{361}$

Schritt 8.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{16 \cdot 16}{361}$

Schritt 8.2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (\frac{3}{2}) = 15 (\frac{16}{361})$

Schritt 8.2.6

Kombiniere $15$ und $\frac{16}{361}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{15 \cdot 16}{361}$

Schritt 8.2.7

Mutltipliziere $15$ mit $16$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{240}{361}$

Schritt 8.2.8

Die endgültige Lösung ist $\frac{240}{361}$ .

$\frac{240}{361}$

Schritt 8.3

Bei $\frac{3}{2}$ ist die zweite Ableitung $0.66481994$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(0, 3)$ .

Ansteigend im Intervall $(0, 3)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 9

Setze einen Wert aus dem Intervall $(3, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3.1$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 4 {(3.1)}^{6} + 324 {(3.1)}^{2}}{{({(3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 9.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 9.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.1.1

Potenziere $3.1$ mit $6$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 4 \cdot 887.503681 + 324 \cdot {3.1}^{2}}{{({3.1}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $887.503681$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 3550.014724 + 324 \cdot {3.1}^{2}}{{({3.1}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.3

Potenziere $3.1$ mit $2$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 3550.014724 + 324 \cdot 9.61}{{({3.1}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.4

Mutltipliziere $324$ mit $9.61$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 3550.014724 + 3113.64}{{({3.1}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.5

Addiere $- 3550.014724$ und $3113.64$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 436.374724}{{({3.1}^{4} + 27)}^{2}}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.2.1

Potenziere $3.1$ mit $4$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 436.374724}{{(92.3521 + 27)}^{2}}$

Schritt 9.2.2.2

Addiere $92.3521$ und $27$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 436.374724}{{119.3521}^{2}}$

Schritt 9.2.2.3

Potenziere $119.3521$ mit $2$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 436.374724}{14244.92377441}$

Schritt 9.2.3

Dividiere $- 436.374724$ durch $14244.92377441$ .

$f'' (3.1) = - 0.0306337$

Schritt 9.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 0.0306337$ .

$- 0.0306337$

Schritt 9.3

Bei $3.1$ , die zweite Ableitung ist $- 0.0306337$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(3, \infty)$

Abfallend im Intervall $(3, \infty)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 10

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall sind die Wendepunkte $(- 3, \ln (108)), (3, \ln (108))$ .

$(- 3, \ln (108)), (3, \ln (108))$

Schritt 11