Analysis Beispiele

$\int_{- 1}^{1} \frac{9 x^{3} - 8 x^{2}}{4 x} d x$

Schritt 1

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int_{- 1}^{1} \frac{9 x^{3} - 8 x^{2}}{x} d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $9 x^{3} - 8 x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $9 x^{3}$ heraus.

$\frac{1}{4} \int_{- 1}^{1} \frac{x^{2} (9 x) - 8 x^{2}}{x} d x$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 8 x^{2}$ heraus.

$\frac{1}{4} \int_{- 1}^{1} \frac{x^{2} (9 x) + x^{2} \cdot - 8}{x} d x$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (9 x) + x^{2} \cdot - 8$ heraus.

$\frac{1}{4} \int_{- 1}^{1} \frac{x^{2} (9 x - 8)}{x} d x$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} (9 x - 8)$ heraus.

$\frac{1}{4} \int_{- 1}^{1} \frac{x (x (9 x - 8))}{x} d x$

Schritt 2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} \int_{- 1}^{1} \frac{x (x (9 x - 8))}{x^{1}} d x$

Schritt 2.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{1}{4} \int_{- 1}^{1} \frac{x (x (9 x - 8))}{x \cdot 1} d x$

Schritt 2.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4} \int_{- 1}^{1} \frac{x (x (9 x - 8))}{x \cdot 1} d x$

Schritt 2.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4} \int_{- 1}^{1} \frac{x (9 x - 8)}{1} d x$

Schritt 2.2.2.5

Dividiere $x (9 x - 8)$ durch $1$ .

$\frac{1}{4} \int_{- 1}^{1} x (9 x - 8) d x$

Schritt 3

Multipliziere $x (9 x - 8)$ .

$\frac{1}{4} \int_{- 1}^{1} x (9 x) + x \cdot - 8 d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} \int_{- 1}^{1} 9 (x^{1} x) + x \cdot - 8 d x$

Schritt 4.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} \int_{- 1}^{1} 9 (x^{1} x^{1}) + x \cdot - 8 d x$

Schritt 4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{4} \int_{- 1}^{1} 9 x^{1 + 1} + x \cdot - 8 d x$

Schritt 4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{4} \int_{- 1}^{1} 9 x^{2} + x \cdot - 8 d x$

Schritt 4.5

Bringe $- 8$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{1}{4} \int_{- 1}^{1} 9 x^{2} - 8 x d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{4} (\int_{- 1}^{1} 9 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - 8 x d x)$

Schritt 6

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $9$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} (9 \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - 8 x d x)$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} (9 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 8 x d x)$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$\frac{1}{4} (9 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 8 x d x)$

Schritt 9

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 8$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} (9 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - 8 \int_{- 1}^{1} x d x)$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} (9 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - 8 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1}))$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} (9 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - 8 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}))$

Schritt 11.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 11.2.1

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $1$ und $- 1$ .

$\frac{1}{4} (9 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 8 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}))$

Schritt 11.2.2

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $1$ und $- 1$ .

$\frac{1}{4} (9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 8 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Schritt 11.2.3

Vereinfache.

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Schritt 11.2.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{4} (9 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 8 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Schritt 11.2.3.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{4} (9 (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}) - 8 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Schritt 11.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{4} (9 (\frac{1}{3} - - \frac{1}{3}) - 8 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Schritt 11.2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{4} (9 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})) - 8 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Schritt 11.2.3.5

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} (9 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) - 8 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Schritt 11.2.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{4} (9 \frac{1 + 1}{3} - 8 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Schritt 11.2.3.7

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{4} (9 (\frac{2}{3}) - 8 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Schritt 11.2.3.8

Kombiniere $9$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{9 \cdot 2}{3} - 8 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Schritt 11.2.3.9

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$\frac{1}{4} (\frac{18}{3} - 8 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Schritt 11.2.3.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18$ und $3$ .

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Schritt 11.2.3.10.1

Faktorisiere $3$ aus $18$ heraus.

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 6}{3} - 8 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Schritt 11.2.3.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.3.10.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 6}{3 (1)} - 8 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Schritt 11.2.3.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 6}{3 \cdot 1} - 8 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Schritt 11.2.3.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4} (\frac{6}{1} - 8 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Schritt 11.2.3.10.2.4

Dividiere $6$ durch $1$ .

$\frac{1}{4} (6 - 8 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Schritt 11.2.3.11

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{4} (6 - 8 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Schritt 11.2.3.12

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{4} (6 - 8 (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}))$

Schritt 11.2.3.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{4} (6 - 8 \frac{1 - 1}{2})$

Schritt 11.2.3.14

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{1}{4} (6 - 8 (\frac{0}{2}))$

Schritt 11.2.3.15

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 11.2.3.15.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$\frac{1}{4} (6 - 8 \frac{2 (0)}{2})$

Schritt 11.2.3.15.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.3.15.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{4} (6 - 8 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Schritt 11.2.3.15.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4} (6 - 8 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Schritt 11.2.3.15.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4} (6 - 8 (\frac{0}{1}))$

Schritt 11.2.3.15.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\frac{1}{4} (6 - 8 \cdot 0)$

Schritt 11.2.3.16

Mutltipliziere $- 8$ mit $0$ .

$\frac{1}{4} (6 + 0)$

Schritt 11.2.3.17

Addiere $6$ und $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 6$

Schritt 11.2.3.18

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $6$ .

$\frac{6}{4}$

Schritt 11.2.3.19

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $4$ .

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Schritt 11.2.3.19.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 (3)}{4}$

Schritt 11.2.3.19.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.3.19.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.3.19.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.3.19.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{2}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{3}{2}$

Dezimalform:

$1.5$

Darstellung als gemischte Zahl:

$1 \frac{1}{2}$

Schritt 13