Analysis Beispiele

$\int_{- 1}^{1} 2 u^{\frac{1}{3}} - u^{\frac{2}{3}} d u$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 1}^{1} 2 u^{\frac{1}{3}} d u + \int_{- 1}^{1} - u^{\frac{2}{3}} d u$

Schritt 2

Da $2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{- 1}^{1} u^{\frac{1}{3}} d u + \int_{- 1}^{1} - u^{\frac{2}{3}} d u$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{3}}$ nach $u$ gleich $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$2 (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - u^{\frac{2}{3}} d u$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $u^{\frac{4}{3}}$ .

$2 (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - u^{\frac{2}{3}} d u$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4}]_{- 1}^{1}) - \int_{- 1}^{1} u^{\frac{2}{3}} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{2}{3}}$ nach $u$ gleich $\frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}}$ .

$2 (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4}]_{- 1}^{1}) - (\frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}}]_{- 1}^{1})$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{3}{5}$ und $u^{\frac{5}{3}}$ .

$2 (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4}]_{- 1}^{1}) - (\frac{3 u^{\frac{5}{3}}}{5}]_{- 1}^{1})$

Schritt 7.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Berechne $\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4}$ bei $1$ und $- 1$ .

$2 ((\frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4}) - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}{4}) - (\frac{3 u^{\frac{5}{3}}}{5}]_{- 1}^{1})$

Schritt 7.2.2

Berechne $\frac{3 u^{\frac{5}{3}}}{5}$ bei $1$ und $- 1$ .

$2 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}{4}) - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 7.2.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 (\frac{3 \cdot 1}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}{4}) - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 7.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$2 (\frac{3}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}{4}) - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 7.2.3.3

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$2 (\frac{3}{4} - \frac{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}}}{4}) - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 7.2.3.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{3}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}{4}) - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 7.2.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.2.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{3}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}{4}) - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 7.2.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$2 (\frac{3}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{4}}{4}) - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 7.2.3.6

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$2 (\frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 1}{4}) - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 7.2.3.7

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$2 (\frac{3}{4} - \frac{3}{4}) - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 7.2.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 \frac{3 - 3}{4} - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 7.2.3.9

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$2 (\frac{0}{4}) - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 7.2.3.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $4$ .

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Schritt 7.2.3.10.1

Faktorisiere $4$ aus $0$ heraus.

$2 \frac{4 (0)}{4} - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 7.2.3.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.10.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$2 \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 7.2.3.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 7.2.3.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 (\frac{0}{1}) - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 7.2.3.10.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$2 \cdot 0 - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 7.2.3.11

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$0 - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 7.2.3.12

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$0 - (\frac{3 \cdot 1}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 7.2.3.13

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$0 - (\frac{3}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 7.2.3.14

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$0 - (\frac{3}{5} - \frac{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 7.2.3.15

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - (\frac{3}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}{5})$

Schritt 7.2.3.16

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.2.3.16.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 - (\frac{3}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}{5})$

Schritt 7.2.3.16.2

Forme den Ausdruck um.

$0 - (\frac{3}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{5}}{5})$

Schritt 7.2.3.17

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$0 - (\frac{3}{5} - \frac{3 \cdot - 1}{5})$

Schritt 7.2.3.18

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$0 - (\frac{3}{5} - \frac{- 3}{5})$

Schritt 7.2.3.19

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$0 - (\frac{3}{5} - - \frac{3}{5})$

Schritt 7.2.3.20

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$0 - (\frac{3}{5} + 1 (\frac{3}{5}))$

Schritt 7.2.3.21

Mutltipliziere $\frac{3}{5}$ mit $1$ .

$0 - (\frac{3}{5} + \frac{3}{5})$

Schritt 7.2.3.22

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$0 - \frac{3 + 3}{5}$

Schritt 7.2.3.23

Addiere $3$ und $3$ .

$0 - \frac{6}{5}$

Schritt 7.2.3.24

Subtrahiere $\frac{6}{5}$ von $0$ .

$- \frac{6}{5}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{6}{5}$

Dezimalform:

$- 1.2$

Darstellung als gemischte Zahl:

$- 1 \frac{1}{5}$

Schritt 9