Analysis Beispiele

$\int_{- 1}^{19} 18 x - x^{2} + 19 d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 1}^{19} 18 x d x + \int_{- 1}^{19} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{19} 19 d x$

Schritt 2

Da $18$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $18$ aus dem Integral.

$18 \int_{- 1}^{19} x d x + \int_{- 1}^{19} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{19} 19 d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$18 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{19}) + \int_{- 1}^{19} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{19} 19 d x$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$18 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{19}) + \int_{- 1}^{19} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{19} 19 d x$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$18 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{19}) - \int_{- 1}^{19} x^{2} d x + \int_{- 1}^{19} 19 d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$18 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{19}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{19}) + \int_{- 1}^{19} 19 d x$

Schritt 7

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$18 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{19}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{19}) + \int_{- 1}^{19} 19 d x$

Schritt 8

Wende die Konstantenregel an.

$18 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{19}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{19}) + 19 x]_{- 1}^{19}$

Schritt 9

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.1

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $19$ und $- 1$ .

$18 ((\frac{19^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{19}) + 19 x]_{- 1}^{19}$

Schritt 9.2

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $19$ und $- 1$ .

$18 (\frac{19^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{19^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 19 x]_{- 1}^{19}$

Schritt 9.3

Berechne $19 x$ bei $19$ und $- 1$ .

$18 (\frac{19^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{19^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (19 \cdot 19) - 19 \cdot - 1$

Schritt 9.4

Vereinfache.

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Schritt 9.4.1

Potenziere $19$ mit $2$ .

$18 (\frac{361}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{19^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (19 \cdot 19) - 19 \cdot - 1$

Schritt 9.4.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$18 (\frac{361}{2} - \frac{1}{2}) - (\frac{19^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (19 \cdot 19) - 19 \cdot - 1$

Schritt 9.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$18 \frac{361 - 1}{2} - (\frac{19^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (19 \cdot 19) - 19 \cdot - 1$

Schritt 9.4.4

Subtrahiere $1$ von $361$ .

$18 (\frac{360}{2}) - (\frac{19^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (19 \cdot 19) - 19 \cdot - 1$

Schritt 9.4.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $360$ und $2$ .

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Schritt 9.4.5.1

Faktorisiere $2$ aus $360$ heraus.

$18 \frac{2 \cdot 180}{2} - (\frac{19^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (19 \cdot 19) - 19 \cdot - 1$

Schritt 9.4.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.4.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$18 \frac{2 \cdot 180}{2 (1)} - (\frac{19^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (19 \cdot 19) - 19 \cdot - 1$

Schritt 9.4.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$18 \frac{2 \cdot 180}{2 \cdot 1} - (\frac{19^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (19 \cdot 19) - 19 \cdot - 1$

Schritt 9.4.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$18 (\frac{180}{1}) - (\frac{19^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (19 \cdot 19) - 19 \cdot - 1$

Schritt 9.4.5.2.4

Dividiere $180$ durch $1$ .

$18 \cdot 180 - (\frac{19^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (19 \cdot 19) - 19 \cdot - 1$

Schritt 9.4.6

Mutltipliziere $18$ mit $180$ .

$3240 - (\frac{19^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (19 \cdot 19) - 19 \cdot - 1$

Schritt 9.4.7

Potenziere $19$ mit $3$ .

$3240 - (\frac{6859}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (19 \cdot 19) - 19 \cdot - 1$

Schritt 9.4.8

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$3240 - (\frac{6859}{3} - \frac{- 1}{3}) + (19 \cdot 19) - 19 \cdot - 1$

Schritt 9.4.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3240 - (\frac{6859}{3} - - \frac{1}{3}) + (19 \cdot 19) - 19 \cdot - 1$

Schritt 9.4.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$3240 - (\frac{6859}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + (19 \cdot 19) - 19 \cdot - 1$

Schritt 9.4.11

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$3240 - (\frac{6859}{3} + \frac{1}{3}) + (19 \cdot 19) - 19 \cdot - 1$

Schritt 9.4.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3240 - \frac{6859 + 1}{3} + (19 \cdot 19) - 19 \cdot - 1$

Schritt 9.4.13

Addiere $6859$ und $1$ .

$3240 - \frac{6860}{3} + (19 \cdot 19) - 19 \cdot - 1$

Schritt 9.4.14

Um $3240$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$3240 \cdot \frac{3}{3} - \frac{6860}{3} + (19 \cdot 19) - 19 \cdot - 1$

Schritt 9.4.15

Kombiniere $3240$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3240 \cdot 3}{3} - \frac{6860}{3} + (19 \cdot 19) - 19 \cdot - 1$

Schritt 9.4.16

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3240 \cdot 3 - 6860}{3} + (19 \cdot 19) - 19 \cdot - 1$

Schritt 9.4.17

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.4.17.1

Mutltipliziere $3240$ mit $3$ .

$\frac{9720 - 6860}{3} + (19 \cdot 19) - 19 \cdot - 1$

Schritt 9.4.17.2

Subtrahiere $6860$ von $9720$ .

$\frac{2860}{3} + (19 \cdot 19) - 19 \cdot - 1$

Schritt 9.4.18

Mutltipliziere $19$ mit $19$ .

$\frac{2860}{3} + 361 - 19 \cdot - 1$

Schritt 9.4.19

Mutltipliziere $- 19$ mit $- 1$ .

$\frac{2860}{3} + 361 + 19$

Schritt 9.4.20

Addiere $361$ und $19$ .

$\frac{2860}{3} + 380$

Schritt 9.4.21

Um $380$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2860}{3} + 380 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 9.4.22

Kombiniere $380$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2860}{3} + \frac{380 \cdot 3}{3}$

Schritt 9.4.23

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2860 + 380 \cdot 3}{3}$

Schritt 9.4.24

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.4.24.1

Mutltipliziere $380$ mit $3$ .

$\frac{2860 + 1140}{3}$

Schritt 9.4.24.2

Addiere $2860$ und $1140$ .

$\frac{4000}{3}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{4000}{3}$

Dezimalform:

$1333.\overline{3}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$1333 \frac{1}{3}$

Schritt 11