Analysis Beispiele

$\int_{1}^{10} 3 x^{2} + 3 x + 6 d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{10} 3 x^{2} d x + \int_{1}^{10} 3 x d x + \int_{1}^{10} 6 d x$

Schritt 2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int_{1}^{10} x^{2} d x + \int_{1}^{10} 3 x d x + \int_{1}^{10} 6 d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{10}) + \int_{1}^{10} 3 x d x + \int_{1}^{10} 6 d x$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{10}) + \int_{1}^{10} 3 x d x + \int_{1}^{10} 6 d x$

Schritt 5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{10}) + 3 \int_{1}^{10} x d x + \int_{1}^{10} 6 d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{10}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{10}) + \int_{1}^{10} 6 d x$

Schritt 7

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{10}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{10}) + \int_{1}^{10} 6 d x$

Schritt 8

Wende die Konstantenregel an.

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{10}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{10}) + 6 x]_{1}^{10}$

Schritt 9

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.1

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $10$ und $1$ .

$3 ((\frac{10^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{10}) + 6 x]_{1}^{10}$

Schritt 9.2

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $10$ und $1$ .

$3 (\frac{10^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 6 x]_{1}^{10}$

Schritt 9.3

Berechne $6 x$ bei $10$ und $1$ .

$3 (\frac{10^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Schritt 9.4

Vereinfache.

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Schritt 9.4.1

Potenziere $10$ mit $3$ .

$3 (\frac{1000}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Schritt 9.4.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$3 (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3}) + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Schritt 9.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 \frac{1000 - 1}{3} + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Schritt 9.4.4

Subtrahiere $1$ von $1000$ .

$3 (\frac{999}{3}) + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Schritt 9.4.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $999$ und $3$ .

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Schritt 9.4.5.1

Faktorisiere $3$ aus $999$ heraus.

$3 \frac{3 \cdot 333}{3} + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Schritt 9.4.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.4.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$3 \frac{3 \cdot 333}{3 (1)} + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Schritt 9.4.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{3 \cdot 333}{3 \cdot 1} + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Schritt 9.4.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 (\frac{333}{1}) + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Schritt 9.4.5.2.4

Dividiere $333$ durch $1$ .

$3 \cdot 333 + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Schritt 9.4.6

Mutltipliziere $3$ mit $333$ .

$999 + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Schritt 9.4.7

Potenziere $10$ mit $2$ .

$999 + 3 (\frac{100}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Schritt 9.4.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $100$ und $2$ .

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Schritt 9.4.8.1

Faktorisiere $2$ aus $100$ heraus.

$999 + 3 (\frac{2 \cdot 50}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Schritt 9.4.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.4.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$999 + 3 (\frac{2 \cdot 50}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Schritt 9.4.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$999 + 3 (\frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Schritt 9.4.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$999 + 3 (\frac{50}{1} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Schritt 9.4.8.2.4

Dividiere $50$ durch $1$ .

$999 + 3 (50 - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Schritt 9.4.9

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$999 + 3 (50 - \frac{1}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Schritt 9.4.10

Um $50$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$999 + 3 (50 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Schritt 9.4.11

Kombiniere $50$ und $\frac{2}{2}$ .

$999 + 3 (\frac{50 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Schritt 9.4.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$999 + 3 \frac{50 \cdot 2 - 1}{2} + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Schritt 9.4.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.4.13.1

Mutltipliziere $50$ mit $2$ .

$999 + 3 \frac{100 - 1}{2} + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Schritt 9.4.13.2

Subtrahiere $1$ von $100$ .

$999 + 3 (\frac{99}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Schritt 9.4.14

Kombiniere $3$ und $\frac{99}{2}$ .

$999 + \frac{3 \cdot 99}{2} + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Schritt 9.4.15

Mutltipliziere $3$ mit $99$ .

$999 + \frac{297}{2} + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Schritt 9.4.16

Um $999$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$999 \cdot \frac{2}{2} + \frac{297}{2} + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Schritt 9.4.17

Kombiniere $999$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{999 \cdot 2}{2} + \frac{297}{2} + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Schritt 9.4.18

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{999 \cdot 2 + 297}{2} + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Schritt 9.4.19

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.4.19.1

Mutltipliziere $999$ mit $2$ .

$\frac{1998 + 297}{2} + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Schritt 9.4.19.2

Addiere $1998$ und $297$ .

$\frac{2295}{2} + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Schritt 9.4.20

Mutltipliziere $6$ mit $10$ .

$\frac{2295}{2} + 60 - 6 \cdot 1$

Schritt 9.4.21

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$\frac{2295}{2} + 60 - 6$

Schritt 9.4.22

Subtrahiere $6$ von $60$ .

$\frac{2295}{2} + 54$

Schritt 9.4.23

Um $54$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2295}{2} + 54 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 9.4.24

Kombiniere $54$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2295}{2} + \frac{54 \cdot 2}{2}$

Schritt 9.4.25

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2295 + 54 \cdot 2}{2}$

Schritt 9.4.26

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.4.26.1

Mutltipliziere $54$ mit $2$ .

$\frac{2295 + 108}{2}$

Schritt 9.4.26.2

Addiere $2295$ und $108$ .

$\frac{2403}{2}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2403}{2}$

Dezimalform:

$1201.5$

Darstellung als gemischte Zahl:

$1201 \frac{1}{2}$

Schritt 11