Analysis Beispiele

$\int_{1}^{2} {(5 x - 7)}^{8} d x$

Schritt 1

Sei $u = 5 x - 7$ . Dann ist $d u = 5 d x$ , folglich $\frac{1}{5} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 5 x - 7$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $5 x - 7$ .

$\frac{d}{d x} [5 x - 7]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x - 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [- 7]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5 + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $5$ und $0$ .

$5$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 5 x - 7$ ein.

$u_{lower} = 5 \cdot 1 - 7$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$u_{lower} = 5 - 7$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $7$ von $5$ .

$u_{lower} = - 2$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 5 x - 7$ ein.

$u_{upper} = 5 \cdot 2 - 7$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$u_{upper} = 10 - 7$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $7$ von $10$ .

$u_{upper} = 3$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = 3$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{- 2}^{3} u^{8} \frac{1}{5} d u$

Schritt 2

Kombiniere $u^{8}$ und $\frac{1}{5}$ .

$\int_{- 2}^{3} \frac{u^{8}}{5} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{5} \int_{- 2}^{3} u^{8} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{8}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{9} u^{9}$ .

$\frac{1}{5} \frac{1}{9} u^{9}]_{- 2}^{3}$

Schritt 5

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.1

Berechne $\frac{1}{9} u^{9}$ bei $3$ und $- 2$ .

$\frac{1}{5} ((\frac{1}{9} \cdot 3^{9}) - \frac{1}{9} {(- 2)}^{9})$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Potenziere $3$ mit $9$ .

$\frac{1}{5} (\frac{1}{9} \cdot 19683 - \frac{1}{9} {(- 2)}^{9})$

Schritt 5.2.2

Kombiniere $\frac{1}{9}$ und $19683$ .

$\frac{1}{5} (\frac{19683}{9} - \frac{1}{9} {(- 2)}^{9})$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $19683$ und $9$ .

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Schritt 5.2.3.1

Faktorisiere $9$ aus $19683$ heraus.

$\frac{1}{5} (\frac{9 \cdot 2187}{9} - \frac{1}{9} {(- 2)}^{9})$

Schritt 5.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.2.1

Faktorisiere $9$ aus $9$ heraus.

$\frac{1}{5} (\frac{9 \cdot 2187}{9 (1)} - \frac{1}{9} {(- 2)}^{9})$

Schritt 5.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{5} (\frac{9 \cdot 2187}{9 \cdot 1} - \frac{1}{9} {(- 2)}^{9})$

Schritt 5.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{5} (\frac{2187}{1} - \frac{1}{9} {(- 2)}^{9})$

Schritt 5.2.3.2.4

Dividiere $2187$ durch $1$ .

$\frac{1}{5} (2187 - \frac{1}{9} {(- 2)}^{9})$

Schritt 5.2.4

Potenziere $- 2$ mit $9$ .

$\frac{1}{5} (2187 - \frac{1}{9} \cdot - 512)$

Schritt 5.2.5

Mutltipliziere $- 512$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{5} (2187 + 512 (\frac{1}{9}))$

Schritt 5.2.6

Kombiniere $512$ und $\frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{5} (2187 + \frac{512}{9})$

Schritt 5.2.7

Um $2187$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{1}{5} (2187 \cdot \frac{9}{9} + \frac{512}{9})$

Schritt 5.2.8

Kombiniere $2187$ und $\frac{9}{9}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{2187 \cdot 9}{9} + \frac{512}{9})$

Schritt 5.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2187 \cdot 9 + 512}{9}$

Schritt 5.2.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.10.1

Mutltipliziere $2187$ mit $9$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{19683 + 512}{9}$

Schritt 5.2.10.2

Addiere $19683$ und $512$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{20195}{9}$

Schritt 5.2.11

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{20195}{9}$ .

$\frac{20195}{5 \cdot 9}$

Schritt 5.2.12

Mutltipliziere $5$ mit $9$ .

$\frac{20195}{45}$

Schritt 5.2.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $20195$ und $45$ .

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Schritt 5.2.13.1

Faktorisiere $5$ aus $20195$ heraus.

$\frac{5 (4039)}{45}$

Schritt 5.2.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.13.2.1

Faktorisiere $5$ aus $45$ heraus.

$\frac{5 \cdot 4039}{5 \cdot 9}$

Schritt 5.2.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cdot 4039}{5 \cdot 9}$

Schritt 5.2.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4039}{9}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{4039}{9}$

Dezimalform:

$448.\overline{7}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$448 \frac{7}{9}$

Schritt 7