Analysis Beispiele

$\int_{1}^{2} {(4 - 3 x)}^{8} d x$

Schritt 1

Sei $u = 4 - 3 x$ . Dann ist $d u = - 3 d x$ , folglich $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Es sei $u = 4 - 3 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere $4 - 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 - 3 x]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Schritt 1.1.2.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 3 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$0 - 3$

Schritt 1.1.4

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$- 3$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 4 - 3 x$ ein.

$u_{lower} = 4 - 3 \cdot 1$

Schritt 1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$u_{lower} = 4 - 3$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 4 - 3 x$ ein.

$u_{upper} = 4 - 3 \cdot 2$

Schritt 1.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$u_{upper} = 4 - 6$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $6$ von $4$ .

$u_{upper} = - 2$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 2$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{- 2} u^{8} \frac{1}{- 3} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{1}^{- 2} u^{8} (- \frac{1}{3}) d u$

Schritt 2.2

Kombiniere $u^{8}$ und $\frac{1}{3}$ .

$\int_{1}^{- 2} - \frac{u^{8}}{3} d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{1}^{- 2} \frac{u^{8}}{3} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{3} \int_{1}^{- 2} u^{8} d u)$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{8}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{9} u^{9}$ .

$- \frac{1}{3} \frac{1}{9} u^{9}]_{1}^{- 2}$

Schritt 6

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Berechne $\frac{1}{9} u^{9}$ bei $- 2$ und $1$ .

$- \frac{1}{3} ((\frac{1}{9} {(- 2)}^{9}) - \frac{1}{9} \cdot 1^{9})$

Schritt 6.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Potenziere $- 2$ mit $9$ .

$- \frac{1}{3} (\frac{1}{9} \cdot - 512 - \frac{1}{9} \cdot 1^{9})$

Schritt 6.2.2

Kombiniere $\frac{1}{9}$ und $- 512$ .

$- \frac{1}{3} (\frac{- 512}{9} - \frac{1}{9} \cdot 1^{9})$

Schritt 6.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{3} (- \frac{512}{9} - \frac{1}{9} \cdot 1^{9})$

Schritt 6.2.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{1}{3} (- \frac{512}{9} - \frac{1}{9} \cdot 1)$

Schritt 6.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{3} (- \frac{512}{9} - \frac{1}{9})$

Schritt 6.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- 512 - 1}{9}$

Schritt 6.2.7

Subtrahiere $1$ von $- 512$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- 513}{9}$

Schritt 6.2.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 513$ und $9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.8.1

Faktorisiere $9$ aus $- 513$ heraus.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{9 \cdot - 57}{9}$

Schritt 6.2.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.8.2.1

Faktorisiere $9$ aus $9$ heraus.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{9 \cdot - 57}{9 (1)}$

Schritt 6.2.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{9 \cdot - 57}{9 \cdot 1}$

Schritt 6.2.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- 57}{1}$

Schritt 6.2.8.2.4

Dividiere $- 57$ durch $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot - 57$

Schritt 6.2.9

Mutltipliziere $- 57$ mit $- 1$ .

$57 (\frac{1}{3})$

Schritt 6.2.10

Kombiniere $57$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{57}{3}$

Schritt 6.2.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $57$ und $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.11.1

Faktorisiere $3$ aus $57$ heraus.

$\frac{3 \cdot 19}{3}$

Schritt 6.2.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.11.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot 19}{3 (1)}$

Schritt 6.2.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 19}{3 \cdot 1}$

Schritt 6.2.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{19}{1}$

Schritt 6.2.11.2.4

Dividiere $19$ durch $1$ .

$19$

Schritt 7