Analysis Beispiele

$\int_{1}^{2} 5 x^{- 4} - 9 x^{2} d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{2} 5 x^{- 4} d x + \int_{1}^{2} - 9 x^{2} d x$

Schritt 2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int_{1}^{2} x^{- 4} d x + \int_{1}^{2} - 9 x^{2} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 4}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$5 (- \frac{1}{3} x^{- 3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 9 x^{2} d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Kombiniere $x^{- 3}$ und $\frac{1}{3}$ .

$5 (- \frac{x^{- 3}}{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 9 x^{2} d x$

Schritt 4.2

Bringe $x^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (- \frac{1}{3 x^{3}}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 9 x^{2} d x$

Schritt 5

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 9$ aus dem Integral.

$5 (- \frac{1}{3 x^{3}}]_{1}^{2}) - 9 \int_{1}^{2} x^{2} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 (- \frac{1}{3 x^{3}}]_{1}^{2}) - 9 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2})$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$5 (- \frac{1}{3 x^{3}}]_{1}^{2}) - 9 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2})$

Schritt 7.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Berechne $- \frac{1}{3 x^{3}}$ bei $2$ und $1$ .

$5 ((- \frac{1}{3 \cdot 2^{3}}) + \frac{1}{3 \cdot 1^{3}}) - 9 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2})$

Schritt 7.2.2

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $2$ und $1$ .

$5 ((- \frac{1}{3 \cdot 2^{3}}) + \frac{1}{3 \cdot 1^{3}}) - 9 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 7.2.3.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$5 (- \frac{1}{3 \cdot 8} + \frac{1}{3 \cdot 1^{3}}) - 9 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$5 (- \frac{1}{24} + \frac{1}{3 \cdot 1^{3}}) - 9 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$5 (- \frac{1}{24} + \frac{1}{3 \cdot 1}) - 9 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$5 (- \frac{1}{24} + \frac{1}{3}) - 9 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.5

Um $\frac{1}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$5 (- \frac{1}{24} + \frac{1}{3} \cdot \frac{8}{8}) - 9 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.6

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $24$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.2.3.6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$5 (- \frac{1}{24} + \frac{8}{3 \cdot 8}) - 9 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$5 (- \frac{1}{24} + \frac{8}{24}) - 9 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 \frac{- 1 + 8}{24} - 9 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.8

Addiere $- 1$ und $8$ .

$5 (\frac{7}{24}) - 9 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.9

Kombiniere $5$ und $\frac{7}{24}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{24} - 9 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.10

Mutltipliziere $5$ mit $7$ .

$\frac{35}{24} - 9 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.11

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{35}{24} - 9 (\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3.12

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{35}{24} - 9 (\frac{8}{3} - \frac{1}{3})$

Schritt 7.2.3.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{35}{24} - 9 \frac{8 - 1}{3}$

Schritt 7.2.3.14

Subtrahiere $1$ von $8$ .

$\frac{35}{24} - 9 (\frac{7}{3})$

Schritt 7.2.3.15

Kombiniere $- 9$ und $\frac{7}{3}$ .

$\frac{35}{24} + \frac{- 9 \cdot 7}{3}$

Schritt 7.2.3.16

Mutltipliziere $- 9$ mit $7$ .

$\frac{35}{24} + \frac{- 63}{3}$

Schritt 7.2.3.17

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 63$ und $3$ .

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Schritt 7.2.3.17.1

Faktorisiere $3$ aus $- 63$ heraus.

$\frac{35}{24} + \frac{3 \cdot - 21}{3}$

Schritt 7.2.3.17.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.17.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{35}{24} + \frac{3 \cdot - 21}{3 (1)}$

Schritt 7.2.3.17.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{35}{24} + \frac{3 \cdot - 21}{3 \cdot 1}$

Schritt 7.2.3.17.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{35}{24} + \frac{- 21}{1}$

Schritt 7.2.3.17.2.4

Dividiere $- 21$ durch $1$ .

$\frac{35}{24} - 21$

Schritt 7.2.3.18

Um $- 21$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{24}{24}$ .

$\frac{35}{24} - 21 \cdot \frac{24}{24}$

Schritt 7.2.3.19

Kombiniere $- 21$ und $\frac{24}{24}$ .

$\frac{35}{24} + \frac{- 21 \cdot 24}{24}$

Schritt 7.2.3.20

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{35 - 21 \cdot 24}{24}$

Schritt 7.2.3.21

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.21.1

Mutltipliziere $- 21$ mit $24$ .

$\frac{35 - 504}{24}$

Schritt 7.2.3.21.2

Subtrahiere $504$ von $35$ .

$\frac{- 469}{24}$

Schritt 7.2.3.22

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{469}{24}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{469}{24}$

Dezimalform:

$- 19.541\overline{6}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$- 19 \frac{13}{24}$

Schritt 9