Analysis Beispiele

$\int_{1}^{2} 3 x^{2} - 2 x + 1 d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{2} 3 x^{2} d x + \int_{1}^{2} - 2 x d x + \int_{1}^{2} d x$

Schritt 2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} - 2 x d x + \int_{1}^{2} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 2 x d x + \int_{1}^{2} d x$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 2 x d x + \int_{1}^{2} d x$

Schritt 5

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{2} x d x + \int_{1}^{2} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} d x$

Schritt 7

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} d x$

Schritt 8

Wende die Konstantenregel an.

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) + x]_{1}^{2}$

Schritt 9

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.1

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $2$ und $1$ .

$3 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) + x]_{1}^{2}$

Schritt 9.2

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $2$ und $1$ .

$3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + x]_{1}^{2}$

Schritt 9.3

Berechne $x$ bei $2$ und $1$ .

$3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (2) - 1$

Schritt 9.4

Vereinfache.

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Schritt 9.4.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$3 (\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (2) - 1$

Schritt 9.4.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$3 (\frac{8}{3} - \frac{1}{3}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (2) - 1$

Schritt 9.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 \frac{8 - 1}{3} - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (2) - 1$

Schritt 9.4.4

Subtrahiere $1$ von $8$ .

$3 (\frac{7}{3}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (2) - 1$

Schritt 9.4.5

Kombiniere $3$ und $\frac{7}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 7}{3} - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (2) - 1$

Schritt 9.4.6

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$\frac{21}{3} - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (2) - 1$

Schritt 9.4.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $21$ und $3$ .

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Schritt 9.4.7.1

Faktorisiere $3$ aus $21$ heraus.

$\frac{3 \cdot 7}{3} - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (2) - 1$

Schritt 9.4.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.4.7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot 7}{3 (1)} - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (2) - 1$

Schritt 9.4.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 1} - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (2) - 1$

Schritt 9.4.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{7}{1} - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (2) - 1$

Schritt 9.4.7.2.4

Dividiere $7$ durch $1$ .

$7 - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (2) - 1$

Schritt 9.4.8

Potenziere $2$ mit $2$ .

$7 - 2 (\frac{4}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (2) - 1$

Schritt 9.4.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 9.4.9.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$7 - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (2) - 1$

Schritt 9.4.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.4.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$7 - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) + (2) - 1$

Schritt 9.4.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7 - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) + (2) - 1$

Schritt 9.4.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$7 - 2 (\frac{2}{1} - \frac{1^{2}}{2}) + (2) - 1$

Schritt 9.4.9.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$7 - 2 (2 - \frac{1^{2}}{2}) + (2) - 1$

Schritt 9.4.10

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$7 - 2 (2 - \frac{1}{2}) + (2) - 1$

Schritt 9.4.11

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$7 - 2 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + (2) - 1$

Schritt 9.4.12

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$7 - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + (2) - 1$

Schritt 9.4.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$7 - 2 \frac{2 \cdot 2 - 1}{2} + (2) - 1$

Schritt 9.4.14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.4.14.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$7 - 2 \frac{4 - 1}{2} + (2) - 1$

Schritt 9.4.14.2

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$7 - 2 (\frac{3}{2}) + (2) - 1$

Schritt 9.4.15

Kombiniere $- 2$ und $\frac{3}{2}$ .

$7 + \frac{- 2 \cdot 3}{2} + (2) - 1$

Schritt 9.4.16

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$7 + \frac{- 6}{2} + (2) - 1$

Schritt 9.4.17

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $2$ .

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Schritt 9.4.17.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$7 + \frac{2 \cdot - 3}{2} + (2) - 1$

Schritt 9.4.17.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.4.17.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$7 + \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} + (2) - 1$

Schritt 9.4.17.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7 + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} + (2) - 1$

Schritt 9.4.17.2.3

Forme den Ausdruck um.

$7 + \frac{- 3}{1} + (2) - 1$

Schritt 9.4.17.2.4

Dividiere $- 3$ durch $1$ .

$7 - 3 + (2) - 1$

Schritt 9.4.18

Subtrahiere $3$ von $7$ .

$4 + (2) - 1$

Schritt 9.4.19

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$4 + 1$

Schritt 9.4.20

Addiere $4$ und $1$ .

$5$

Schritt 10