Analysis Beispiele

$\int_{1}^{3} \frac{y^{5}}{5} - \frac{1}{12 y^{3}} d y$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{3} \frac{y^{5}}{5} d y + \int_{1}^{3} - \frac{1}{12 y^{3}} d y$

Schritt 2

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $\frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{5} \int_{1}^{3} y^{5} d y + \int_{1}^{3} - \frac{1}{12 y^{3}} d y$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{5}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{6} y^{6}$ .

$\frac{1}{5} \frac{1}{6} y^{6}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - \frac{1}{12 y^{3}} d y$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{5} \frac{1}{6} y^{6}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{12 y^{3}} d y$

Schritt 5

Da $\frac{1}{12}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $\frac{1}{12}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{5} \frac{1}{6} y^{6}]_{1}^{3} - (\frac{1}{12} \int_{1}^{3} \frac{1}{y^{3}} d y)$

Schritt 6

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Bringe $y^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{5} \frac{1}{6} y^{6}]_{1}^{3} - \frac{1}{12} \int_{1}^{3} {(y^{3})}^{- 1} d y$

Schritt 6.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{3})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{5} \frac{1}{6} y^{6}]_{1}^{3} - \frac{1}{12} \int_{1}^{3} y^{3 \cdot - 1} d y$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{5} \frac{1}{6} y^{6}]_{1}^{3} - \frac{1}{12} \int_{1}^{3} y^{- 3} d y$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- 3}$ nach $y$ gleich $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$\frac{1}{5} \frac{1}{6} y^{6}]_{1}^{3} - \frac{1}{12} - \frac{1}{2} y^{- 2}]_{1}^{3}$

Schritt 8

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Berechne $\frac{1}{6} y^{6}$ bei $3$ und $1$ .

$\frac{1}{5} ((\frac{1}{6} \cdot 3^{6}) - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - \frac{1}{12} - \frac{1}{2} y^{- 2}]_{1}^{3}$

Schritt 8.2

Berechne $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ bei $3$ und $1$ .

$\frac{1}{5} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Schritt 8.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1

Potenziere $3$ mit $6$ .

$\frac{1}{5} (\frac{1}{6} \cdot 729 - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Schritt 8.3.2

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $729$ .

$\frac{1}{5} (\frac{729}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Schritt 8.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $729$ und $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $729$ heraus.

$\frac{1}{5} (\frac{3 (243)}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Schritt 8.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{1}{5} (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Schritt 8.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{5} (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Schritt 8.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{5} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Schritt 8.3.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{5} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6} \cdot 1) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Schritt 8.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{5} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Schritt 8.3.6

Um $\frac{243}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{243}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Schritt 8.3.7

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.7.1

Mutltipliziere $\frac{243}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{243 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Schritt 8.3.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{5} (\frac{243 \cdot 3}{6} - \frac{1}{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Schritt 8.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{243 \cdot 3 - 1}{6} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Schritt 8.3.9

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.9.1

Mutltipliziere $243$ mit $3$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{729 - 1}{6} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Schritt 8.3.9.2

Subtrahiere $1$ von $729$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{728}{6} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Schritt 8.3.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $728$ und $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.10.1

Faktorisiere $2$ aus $728$ heraus.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 (364)}{6} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Schritt 8.3.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.10.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 \cdot 364}{2 \cdot 3} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Schritt 8.3.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 \cdot 364}{2 \cdot 3} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Schritt 8.3.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{364}{3} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Schritt 8.3.11

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{364}{3}$ .

$\frac{364}{5 \cdot 3} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Schritt 8.3.12

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Schritt 8.3.13

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Schritt 8.3.14

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Schritt 8.3.15

Mutltipliziere $\frac{1}{9}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{9 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Schritt 8.3.16

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Schritt 8.3.17

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2} \cdot 1)$

Schritt 8.3.18

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2})$

Schritt 8.3.19

Um $\frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{9})$

Schritt 8.3.20

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $18$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.20.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{18} + \frac{9}{2 \cdot 9})$

Schritt 8.3.20.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{18} + \frac{9}{18})$

Schritt 8.3.21

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} \cdot \frac{- 1 + 9}{18}$

Schritt 8.3.22

Addiere $- 1$ und $9$ .

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} \cdot \frac{8}{18}$

Schritt 8.3.23

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $18$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.23.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} \cdot \frac{2 (4)}{18}$

Schritt 8.3.23.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.23.2.1

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} \cdot \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 9}$

Schritt 8.3.23.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} \cdot \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 9}$

Schritt 8.3.23.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} \cdot \frac{4}{9}$

Schritt 8.3.24

Mutltipliziere $\frac{4}{9}$ mit $\frac{1}{12}$ .

$\frac{364}{15} - \frac{4}{9 \cdot 12}$

Schritt 8.3.25

Mutltipliziere $9$ mit $12$ .

$\frac{364}{15} - \frac{4}{108}$

Schritt 8.3.26

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $108$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.26.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{364}{15} - \frac{4 (1)}{108}$

Schritt 8.3.26.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.26.2.1

Faktorisiere $4$ aus $108$ heraus.

$\frac{364}{15} - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 27}$

Schritt 8.3.26.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{364}{15} - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 27}$

Schritt 8.3.26.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{364}{15} - \frac{1}{27}$

Schritt 8.3.27

Um $\frac{364}{15}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{364}{15} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{27}$

Schritt 8.3.28

Um $- \frac{1}{27}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{364}{15} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{27} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 8.3.29

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $135$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.29.1

Mutltipliziere $\frac{364}{15}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{364 \cdot 9}{15 \cdot 9} - \frac{1}{27} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 8.3.29.2

Mutltipliziere $15$ mit $9$ .

$\frac{364 \cdot 9}{135} - \frac{1}{27} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 8.3.29.3

Mutltipliziere $\frac{1}{27}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{364 \cdot 9}{135} - \frac{5}{27 \cdot 5}$

Schritt 8.3.29.4

Mutltipliziere $27$ mit $5$ .

$\frac{364 \cdot 9}{135} - \frac{5}{135}$

Schritt 8.3.30

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{364 \cdot 9 - 5}{135}$

Schritt 8.3.31

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.31.1

Mutltipliziere $364$ mit $9$ .

$\frac{3276 - 5}{135}$

Schritt 8.3.31.2

Subtrahiere $5$ von $3276$ .

$\frac{3271}{135}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{3271}{135}$

Dezimalform:

$24.2\overline{296}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$24 \frac{31}{135}$

Schritt 10