Analysis Beispiele

$\int_{1}^{25} \frac{x - 2}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{1}^{25} \frac{x - 2}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int_{1}^{25} (x - 2) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{25} (x - 2) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int_{1}^{25} (x - 2) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Schritt 3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{1}^{25} (x - 2) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4

Multipliziere $(x - 2) x^{- \frac{1}{2}}$ aus.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{1}^{25} x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int_{1}^{25} x^{1} x^{- \frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{1}^{25} x^{1 - \frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int_{1}^{25} x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int_{1}^{25} x^{\frac{2 - 1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.6

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\int_{1}^{25} x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{25} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{1}^{25} - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{25} + \int_{1}^{25} - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 7

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{25} - 2 \int_{1}^{25} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{25} - 2 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{25})$

Schritt 9

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.1

Berechne $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ bei $25$ und $1$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{25})$

Schritt 9.2

Berechne $2 x^{\frac{1}{2}}$ bei $25$ und $1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{2}{3} \cdot {(5^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 9.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 9.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 9.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 9.3.4

Potenziere $5$ mit $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 9.3.5

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $125$ .

$\frac{2 \cdot 125}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 9.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $125$ .

$\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 9.3.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 - 2 (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 9.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{250}{3} - \frac{2}{3} - 2 (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 9.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{250 - 2}{3} - 2 (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 9.3.10

Subtrahiere $2$ von $250$ .

$\frac{248}{3} - 2 (2 \cdot 25^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 9.3.11

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{248}{3} - 2 (2 \cdot {(5^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 9.3.12

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{248}{3} - 2 (2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 9.3.13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.13.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{248}{3} - 2 (2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 9.3.13.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{248}{3} - 2 (2 \cdot 5^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 9.3.14

Berechne den Exponenten.

$\frac{248}{3} - 2 (2 \cdot 5 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 9.3.15

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{248}{3} - 2 (10 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 9.3.16

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{248}{3} - 2 (10 - 2 \cdot 1)$

Schritt 9.3.17

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{248}{3} - 2 (10 - 2)$

Schritt 9.3.18

Subtrahiere $2$ von $10$ .

$\frac{248}{3} - 2 \cdot 8$

Schritt 9.3.19

Mutltipliziere $- 2$ mit $8$ .

$\frac{248}{3} - 16$

Schritt 9.3.20

Um $- 16$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{248}{3} - 16 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 9.3.21

Kombiniere $- 16$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{248}{3} + \frac{- 16 \cdot 3}{3}$

Schritt 9.3.22

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{248 - 16 \cdot 3}{3}$

Schritt 9.3.23

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.3.23.1

Mutltipliziere $- 16$ mit $3$ .

$\frac{248 - 48}{3}$

Schritt 9.3.23.2

Subtrahiere $48$ von $248$ .

$\frac{200}{3}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{200}{3}$

Dezimalform:

$66.\overline{6}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$66 \frac{2}{3}$

Schritt 11