Analysis Beispiele

$\int_{1}^{2} y \sin (x y) d x$

Schritt 1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $y$ aus dem Integral.

$y \int_{1}^{2} \sin (x y) d x$

Schritt 2

Sei $u = x y$ . Dann ist $d u = y d x$ , folglich $\frac{1}{y} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = x y$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $x y$ .

$\frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 2.1.2

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y \cdot 1$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x y$ ein.

$u_{lower} = 1 y$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$u_{lower} = y$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x y$ ein.

$u_{upper} = 2 y$

Schritt 2.5

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = y$

$u_{upper} = 2 y$

Schritt 2.6

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$y \int_{y}^{2 y} \sin (u) \frac{1}{y} d u$

Schritt 3

Kombiniere $\sin (u)$ und $\frac{1}{y}$ .

$y \int_{y}^{2 y} \frac{\sin (u)}{y} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{y}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{y}$ aus dem Integral.

$y (\frac{1}{y} \int_{y}^{2 y} \sin (u) d u)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{y}$ und $y$ .

$\frac{y}{y} \int_{y}^{2 y} \sin (u) d u$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{y} \int_{y}^{2 y} \sin (u) d u$

Schritt 5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \int_{y}^{2 y} \sin (u) d u$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $\int_{y}^{2 y} \sin (u) d u$ mit $1$ .

$\int_{y}^{2 y} \sin (u) d u$

Schritt 6

Das Integral von $\sin (u)$ nach $u$ ist $- \cos (u)$ .

$- \cos (u)]_{y}^{2 y}$

Schritt 7

Berechne $- \cos (u)$ bei $2 y$ und $y$ .

$- \cos (2 y) + \cos (y)$