Analysis Beispiele

$\int_{1}^{2} 2 (x^{- 2} + 3 x) x^{2} d x$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{1}^{2} (2 x^{- 2} + 2 (3 x)) x^{2} d x$

Schritt 1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\int_{1}^{2} (2 x^{- 2} + 6 x) x^{2} d x$

Schritt 1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int_{1}^{2} (2 \frac{1}{x^{2}} + 6 x) x^{2} d x$

Schritt 1.3.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\int_{1}^{2} (\frac{2}{x^{2}} + 6 x) x^{2} d x$

Schritt 1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{1}^{2} \frac{2}{x^{2}} x^{2} + 6 x \cdot x^{2} d x$

Schritt 1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{1}^{2} \frac{2}{x^{2}} x^{2} + 6 x \cdot x^{2} d x$

Schritt 1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\int_{1}^{2} 2 + 6 x \cdot x^{2} d x$

Schritt 1.6

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.6.1

Bewege $x^{2}$ .

$\int_{1}^{2} 2 + 6 (x^{2} x) d x$

Schritt 1.6.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 1.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int_{1}^{2} 2 + 6 (x^{2} x^{1}) d x$

Schritt 1.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{1}^{2} 2 + 6 x^{2 + 1} d x$

Schritt 1.6.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\int_{1}^{2} 2 + 6 x^{3} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{2} 2 d x + \int_{1}^{2} 6 x^{3} d x$

Schritt 3

Wende die Konstantenregel an.

$2 x]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} 6 x^{3} d x$

Schritt 4

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$2 x]_{1}^{2} + 6 \int_{1}^{2} x^{3} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$2 x]_{1}^{2} + 6 (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{2})$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$2 x]_{1}^{2} + 6 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2})$

Schritt 6.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Berechne $2 x$ bei $2$ und $1$ .

$(2 \cdot 2) - 2 \cdot 1 + 6 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2})$

Schritt 6.2.2

Berechne $\frac{x^{4}}{4}$ bei $2$ und $1$ .

$2 \cdot 2 - 2 \cdot 1 + 6 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 6.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 - 2 \cdot 1 + 6 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$4 - 2 + 6 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 6.2.3.3

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$2 + 6 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 6.2.3.4

Potenziere $2$ mit $4$ .

$2 + 6 (\frac{16}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 6.2.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $4$ .

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Schritt 6.2.3.5.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$2 + 6 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 6.2.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.5.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$2 + 6 (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 6.2.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 + 6 (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 6.2.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 + 6 (\frac{4}{1} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 6.2.3.5.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$2 + 6 (4 - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 6.2.3.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 + 6 (4 - \frac{1}{4})$

Schritt 6.2.3.7

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$2 + 6 (4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4})$

Schritt 6.2.3.8

Kombiniere $4$ und $\frac{4}{4}$ .

$2 + 6 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4})$

Schritt 6.2.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 + 6 \frac{4 \cdot 4 - 1}{4}$

Schritt 6.2.3.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.3.10.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$2 + 6 \frac{16 - 1}{4}$

Schritt 6.2.3.10.2

Subtrahiere $1$ von $16$ .

$2 + 6 (\frac{15}{4})$

Schritt 6.2.3.11

Kombiniere $6$ und $\frac{15}{4}$ .

$2 + \frac{6 \cdot 15}{4}$

Schritt 6.2.3.12

Mutltipliziere $6$ mit $15$ .

$2 + \frac{90}{4}$

Schritt 6.2.3.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $90$ und $4$ .

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Schritt 6.2.3.13.1

Faktorisiere $2$ aus $90$ heraus.

$2 + \frac{2 (45)}{4}$

Schritt 6.2.3.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.13.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 + \frac{2 \cdot 45}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.2.3.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 + \frac{2 \cdot 45}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.2.3.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 + \frac{45}{2}$

Schritt 6.2.3.14

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{45}{2}$

Schritt 6.2.3.15

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{45}{2}$

Schritt 6.2.3.16

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 \cdot 2 + 45}{2}$

Schritt 6.2.3.17

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.3.17.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 + 45}{2}$

Schritt 6.2.3.17.2

Addiere $4$ und $45$ .

$\frac{49}{2}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{49}{2}$

Dezimalform:

$24.5$

Darstellung als gemischte Zahl:

$24 \frac{1}{2}$

Schritt 8