Analysis Beispiele

$\int_{1}^{2} \frac{t^{8} - t^{4}}{t^{6}} d t$

Schritt 1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $t^{4}$ aus $t^{8} - t^{4}$ heraus.

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Schritt 1.1.1.1

Faktorisiere $t^{4}$ aus $t^{8}$ heraus.

$\int_{1}^{2} \frac{t^{4} t^{4} - t^{4}}{t^{6}} d t$

Schritt 1.1.1.2

Faktorisiere $t^{4}$ aus $- t^{4}$ heraus.

$\int_{1}^{2} \frac{t^{4} t^{4} + t^{4} \cdot - 1}{t^{6}} d t$

Schritt 1.1.1.3

Faktorisiere $t^{4}$ aus $t^{4} t^{4} + t^{4} \cdot - 1$ heraus.

$\int_{1}^{2} \frac{t^{4} (t^{4} - 1)}{t^{6}} d t$

Schritt 1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.1

Faktorisiere $t^{4}$ aus $t^{6}$ heraus.

$\int_{1}^{2} \frac{t^{4} (t^{4} - 1)}{t^{4} t^{2}} d t$

Schritt 1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{1}^{2} \frac{t^{4} (t^{4} - 1)}{t^{4} t^{2}} d t$

Schritt 1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int_{1}^{2} \frac{t^{4} - 1}{t^{2}} d t$

Schritt 1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.2.1

Bringe $t^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int_{1}^{2} (t^{4} - 1) {(t^{2})}^{- 1} d t$

Schritt 1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{2} (t^{4} - 1) t^{2 \cdot - 1} d t$

Schritt 1.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int_{1}^{2} (t^{4} - 1) t^{- 2} d t$

Schritt 2

Multipliziere $(t^{4} - 1) t^{- 2}$ .

$\int_{1}^{2} t^{4} t^{- 2} - 1 t^{- 2} d t$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Multipliziere $t^{4}$ mit $t^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{1}^{2} t^{4 - 2} - 1 t^{- 2} d t$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$\int_{1}^{2} t^{2} - 1 t^{- 2} d t$

Schritt 3.2

Schreibe $- 1 t^{- 2}$ als $- t^{- 2}$ um.

$\int_{1}^{2} t^{2} - t^{- 2} d t$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{2} t^{2} d t + \int_{1}^{2} - t^{- 2} d t$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{2}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - t^{- 2} d t$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} t^{- 2} d t$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{- 2}$ nach $t$ gleich $- t^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{2} - (- t^{- 1}]_{1}^{2})$

Schritt 8

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.1

Berechne $\frac{1}{3} t^{3}$ bei $2$ und $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (- t^{- 1}]_{1}^{2})$

Schritt 8.2

Berechne $- t^{- 1}$ bei $2$ und $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 8.3.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $8$ .

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 8.3.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 - (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 8.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} - (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 8.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{8 - 1}{3} - (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 8.3.6

Subtrahiere $1$ von $8$ .

$\frac{7}{3} - (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 8.3.7

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{7}{3} - (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Schritt 8.3.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{7}{3} - (- \frac{1}{2} + 1)$

Schritt 8.3.9

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{7}{3} - (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Schritt 8.3.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{7}{3} - \frac{- 1 + 2}{2}$

Schritt 8.3.11

Addiere $- 1$ und $2$ .

$\frac{7}{3} - \frac{1}{2}$

Schritt 8.3.12

Um $\frac{7}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 8.3.13

Um $- \frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 8.3.14

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.3.14.1

Mutltipliziere $\frac{7}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 8.3.14.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{7 \cdot 2}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 8.3.14.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7 \cdot 2}{6} - \frac{3}{2 \cdot 3}$

Schritt 8.3.14.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{7 \cdot 2}{6} - \frac{3}{6}$

Schritt 8.3.15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{7 \cdot 2 - 3}{6}$

Schritt 8.3.16

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.16.1

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$\frac{14 - 3}{6}$

Schritt 8.3.16.2

Subtrahiere $3$ von $14$ .

$\frac{11}{6}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{11}{6}$

Dezimalform:

$1.8\overline{3}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$1 \frac{5}{6}$

Schritt 10