Analysis Beispiele

$\int_{1}^{2} \frac{x - 4}{x^{2}} d x$

Schritt 1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int_{1}^{2} (x - 4) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{2} (x - 4) x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int_{1}^{2} (x - 4) x^{- 2} d x$

Schritt 2

Multipliziere $(x - 4) x^{- 2}$ .

$\int_{1}^{2} x \cdot x^{- 2} - 4 x^{- 2} d x$

Schritt 3

Multipliziere $x$ mit $x^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{- 2}$ .

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Schritt 3.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int_{1}^{2} x^{1} x^{- 2} - 4 x^{- 2} d x$

Schritt 3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{1}^{2} x^{1 - 2} - 4 x^{- 2} d x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\int_{1}^{2} x^{- 1} - 4 x^{- 2} d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{2} x^{- 1} d x + \int_{1}^{2} - 4 x^{- 2} d x$

Schritt 5

Das Integral von $x^{- 1}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - 4 x^{- 2} d x$

Schritt 6

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - 4 \int_{1}^{2} x^{- 2} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - 4 (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.1.1

Berechne $\ln (| x |)$ bei $2$ und $1$ .

$(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |) - 4 (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Schritt 8.1.2

Berechne $- x^{- 1}$ bei $2$ und $1$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 4 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 8.1.3

Vereinfache.

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Schritt 8.1.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 4 (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Schritt 8.1.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 4 (- \frac{1}{2} + 1)$

Schritt 8.1.3.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 4 (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Schritt 8.1.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 4 \frac{- 1 + 2}{2}$

Schritt 8.1.3.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 4 (\frac{1}{2})$

Schritt 8.1.3.6

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{- 4}{2}$

Schritt 8.1.3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 8.1.3.7.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{2 \cdot - 2}{2}$

Schritt 8.1.3.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.1.3.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Schritt 8.1.3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.3.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{- 2}{1}$

Schritt 8.1.3.7.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 2$

Schritt 8.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) - 2$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\ln (\frac{2}{| 1 |}) - 2$

Schritt 8.3.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\ln (\frac{2}{1}) - 2$

Schritt 8.3.3

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\ln (2) - 2$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\ln (2) - 2$

Dezimalform:

$- 1.30685281 \dots$

Schritt 10